В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=70, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7√19. Найдите sin∠ABC.

Ответ: 0,3 **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle H = 90^\circ$), так как $CH$ — высота. В нём нам известны гипотенуза $AC = 70$ и катет $CH = 7\sqrt{19}$. 2. Найдём синус угла $A$ в треугольнике $ACH$: $\sin \angle A = \frac{CH}{AC} = \frac{7\sqrt{19}}{70} = \frac{\sqrt{19}}{10}$ 3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, чтобы найти $\cos \angle A$: $\cos^2 \angle A = 1 - \sin^2 \angle A = 1 - \left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{19}{100} = \frac{81}{100}$ $\cos \angle A = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$ 4. В большом прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle A + \angle ABC = 90^\circ$ По свойству тригонометрических функций дополнительных углов: $\sin \angle ABC = \cos(90^\circ - \angle ABC) = \cos \angle A$ 5. Следовательно, $\sin \angle ABC = 0,9$. **Допущение:** В тексте задания допущена опечатка в значении высоты или катета, либо требуется найти косинус, так как стандартные задачи подобного типа часто выводят на простые значения. Перепроверим через другое соотношение: $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$. Если $\cos A = 0,9$, то $\sin B = 0,9$. **Уточнение:** Если в условии задачи спрашивается именно $\sin \angle ABC$, то по логике подобия треугольников $ABC \sim ACH$, угол $ABC$ равен углу $ACH$. В $\triangle ACH$: $\cos \angle ACH = \frac{CH}{AC} = \frac{7\sqrt{19}}{70} = \frac{\sqrt{19}}{10}$. Тогда $\sin \angle ACH = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{19}}{10})^2} = \sqrt{\frac{81}{100}} = 0,9$. Так как $\angle ABC = \angle ACH$, то $\sin \angle ABC = 0,9$.