В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CH. Известно, что AH = 16 см, HB = 25 см. Найти: длину высоты CH; длины катетов AC и BC.

**Ответ:** $CH = 20$ см; $AC = 4\sqrt{41}$ см; $BC = 5\sqrt{41}$ см. **Решение:** Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: 1. Высота, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу: $CH^2 = AH \cdot HB$ $CH^2 = 16 \cdot 25 = 400$ $CH = \sqrt{400} = 20$ (см). 2. Катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Сначала найдём гипотенузу $AB$: $AB = AH + HB = 16 + 25 = 41$ (см). 3. Найдём катеты: $AC^2 = AH \cdot AB$ $AC^2 = 16 \cdot 41 = 656$ $AC = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}$ (см). $BC^2 = HB \cdot AB$ $BC^2 = 25 \cdot 41 = 1025$ $BC = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}$ (см).