В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 50, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8√39. Найдите sin ∠ABC.

**Ответ: 0,8** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $H = 90^\circ$). По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin \angle A = \frac{CH}{AC}$ $\sin \angle A = \frac{8\sqrt{39}}{50} = \frac{4\sqrt{39}}{25}$ 2. В большом прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$ 3. По формулам приведения известно, что синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого: $\sin \angle B = \cos \angle A$ 4. Найдём $\cos \angle A$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$: $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4\sqrt{39}}{25}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 39}{625} = 1 - \frac{624}{625} = \frac{1}{625}$ $\cos \angle A = \sqrt{\frac{1}{625}} = \frac{1}{25} = 0,04$ 5. Заметим, что мы нашли $\sin \angle B$ через $\cos \angle A$. Однако есть более простой путь через подобие: $\angle ABC = \angle ACH$. В треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора: $AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{50^2 - (8\sqrt{39})^2} = \sqrt{2500 - 624} = \sqrt{1876} \approx 43,3$ **Поправка:** Проверим углы. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC$ равен углу $\angle ACH$, так как оба они дополняют угол $\angle BCD$ до $90^\circ$ (или $\angle A$ до $90^\circ$). $\sin \angle ABC = \cos \angle A$ Из треугольника $ACH$: $\cos \angle A = \frac{AH}{AC}$ $AH^2 = AC^2 - CH^2 = 50^2 - (8\sqrt{39})^2 = 2500 - 624 = 1876$ $AH = \sqrt{1876} = \sqrt{4 \cdot 469} = 2\sqrt{469}$ Это дает некрасивое число. Перепроверим. В треугольнике $ABC$: $\sin \angle ABC = \frac{AC}{AB}$. В треугольнике $ACH$: $\sin \angle A = \frac{CH}{AC}$. Углы $\angle ABC$ и $\angle ACH$ равны. Значит, $\sin \angle ABC = \sin \angle ACH = \frac{AH}{AC}$. Вернемся к $\cos A = \sin B$. $\sin B = \frac{AH}{50} = 0,04$ (если расчет $AH=2$ был бы верен). **Пересчет:** $\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{8\sqrt{39}}{50} = \frac{4\sqrt{39}}{25}$ $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4\sqrt{39}}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{624}{625}} = \sqrt{\frac{1}{625}} = \frac{1}{25} = 0,04$ Так как $\sin \angle ABC = \cos \angle A$ (в прямоугольном $\triangle ABC$), $\sin \angle ABC = 0,04$.