Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов AB и CA; 2) модули векторов AB и CA...

1. Даны точки $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$. 1) Координаты вектора $\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$. Координаты вектора $\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$. 2) Модуль вектора $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$. Модуль вектора $|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$. 3) Координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$: $3\vec{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$; $2\vec{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$; $\vec{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; -10)$. 4) Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$. 5) Косинус угла $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$. 2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте вектор: 1) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (по правилу треугольника); 2) $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{AC}$ (по правилу вычитания векторов); 3) $\vec{AB} + \vec{AC}$ (строится по правилу параллелограмма как диагональ). 3. $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. 1) Коллинеарны, если $\frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$. 2) Перпендикулярны, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1$. 4. $ABCD$ — параллелограмм. $F \in AB$, $AF:FB = 1:4 \Rightarrow \vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{AB} = \frac{1}{5}\vec{a}$. $E \in BC$, $BE:EC = 1:3 \Rightarrow \vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$. По правилу многоугольника: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BA} + \vec{AF} = -\vec{BE} - \vec{AB} + \vec{AF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{a} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$. 5. $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$, $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, $\vec{m} \perp \vec{n}$ (т.е. $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$), $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m})(3\vec{n} - \vec{m}) = 3\vec{n}^2 - \vec{n}\vec{m} + 6\vec{m}\vec{n} - 2\vec{m}^2 = 3|\vec{n}|^2 + 5(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 2|\vec{m}|^2 = 3(1)^2 + 0 - 2(1)^2 = 1$. $|\vec{a}| = \sqrt{(\vec{n} + 2\vec{m})^2} = \sqrt{\vec{n}^2 + 4\vec{n}\vec{m} + 4\vec{m}^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$. $|\vec{b}| = \sqrt{(3\vec{n} - \vec{m})^2} = \sqrt{9\vec{n}^2 - 6\vec{n}\vec{m} + \vec{m}^2} = \sqrt{9 - 0 + 1} = \sqrt{10}$. $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$. **Ответ: 1.1) (3; -4), (-4; -1); 1.2) 5, √17; 1.3) (17; -10); 1.4) -8; 1.5) -8/(5√17); 3.1) -9; 3.2) 1; 4) -0,8a - 0,25b; 5) √2/10.**