Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов AB и CA; 2) модули векторов AB и CA; 3) координаты вектора MN = 3AB - 2CA; 4) скалярное произведение векторов AB и CA; 5) косинус угла между векторами AB и CA.

**Ответ:** 1. Решение для точек $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$: 1) $\vec{AB} = (3; -4)$, $\vec{CA} = (-4; -1)$ 2) $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$ 3) $\vec{MN} = (17; -10)$ 4) $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$ 5) $\cos(\vec{AB}, \vec{CA}) = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$ 2. Решение для векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$: 1) $k = -9$ 2) $k = 1$ 3. $\vec{EF} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{5}\vec{a}$ **Решение:** 1. Даны точки $A(-2; 3), B(1; -1), C(2; 4)$. 1) Координаты векторов: $\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$ $\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$ 2) Модули векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ $|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 3) Координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$: $3\vec{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$ $2\vec{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$ $\vec{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (17; -10)$ 4) Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$ 5) Косинус угла: $$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$$ 2. Векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $$\frac{2}{-3} = \frac{6}{k} \Rightarrow 2k = -18 \Rightarrow k = -9$$ 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно $0$: $$2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0 \Rightarrow -6 + 6k = 0 \Rightarrow 6k = 6 \Rightarrow k = 1$$ 3. В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Точка $F$ на $AB$ такая, что $AF : FB = 1 : 4$, значит $\vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{AB} = \frac{1}{5}\vec{a}$. Точка $E$ на $BC$ такая, что $BE : EC = 1 : 3$, значит $\vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$. По правилу вычитания векторов (или правилу треугольника): $$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}$$. Но проще рассмотреть путь от $E$ к $F$ через точку $B$: $$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\vec{BE} + \vec{BF}$$ Так как $AF = \frac{1}{5}AB$, то $BF = \frac{4}{5}AB$ (в обратную сторону от $A$), но точка $F$ лежит между $A$ и $B$. Выразим через начало координат $A$: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$ $\vec{AF} = \frac{1}{5}\vec{a}$ $$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{5}\vec{a} - (\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}) = \frac{1}{5}\vec{a} - \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$$ *Исправление направления*: Если рассматривать вектор от $E$ к $F$: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$ (если считать от $B$ к $A$). Если $F$ на $AB$ и $E$ на $BC$, то $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$.