Даны точки A (2; -1), C (3; 2) и D (-3; 1). Найдите: 1) координаты векторов AC и AD; 2) модули векторов AC и AD; 3) координаты вектора EF = 3AC - 2AD; 4) скалярное произведение векторов AC и AD; 5) косинус угла между векторами AC и AD.

1. Даны точки $A(2; -1)$, $C(3; 2)$ и $D(-3; 1)$. 1) Координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $\vec{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)$ $\vec{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)$ **Ответ: $\vec{AC}(1; 3)$, $\vec{AD}(-5; 2)$** 2) Модули векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ $|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$ **Ответ: $|\vec{AC}| = \sqrt{10}$, $|\vec{AD}| = \sqrt{29}$** 3) Координаты вектора $\vec{EF} = 3\vec{AC} - 2\vec{AD}$: $3\vec{AC} = (3 \cdot 1; 3 \cdot 3) = (3; 9)$ $2\vec{AD} = (2 \cdot (-5); 2 \cdot 2) = (-10; 4)$ $\vec{EF} = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)$ **Ответ: $\vec{EF}(13; 5)$** 4) Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1$ **Ответ: 1** 5) Косинус угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}$ **Ответ: $\frac{1}{\sqrt{290}}$** 2. Построение векторов в треугольнике $ABC$: 1) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (по правилу треугольника) 2) $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$ (разность векторов с общим началом) 3) $\vec{AC} + \vec{AB}$ — вектор, идущий из точки $A$ по диагонали параллелограмма, построенного на сторонах $AC$ и $AB$. 3. Даны $\vec{a}(3; -4)$ и $\vec{b}(m; 9)$: 1) Коллинеарны, если координаты пропорциональны: $\frac{m}{3} = \frac{9}{-4} \Rightarrow m = \frac{3 \cdot 9}{-4} = -6,75$ **Ответ: -6,75** 2) Перпендикулярны, если скалярное произведение равно 0: $3 \cdot m + (-4) \cdot 9 = 0 \Rightarrow 3m - 36 = 0 \Rightarrow 3m = 36 \Rightarrow m = 12$ **Ответ: 12** 4. В параллелограмме $ABCD$: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$. Тогда $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{a}$. $AM : MB = 3 : 4 \Rightarrow \vec{AM} = \frac{3}{7} \vec{AB} = \frac{3}{7} \vec{b}$ $BK : KC = 2 : 3 \Rightarrow \vec{BK} = \frac{2}{5} \vec{BC} = -\frac{2}{5} \vec{a}$ $\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BK} = -\frac{3}{7} \vec{b} + \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a}$ **Ответ: $\vec{MK} = -0,4\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$** 5. $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Найдём скалярное произведение $\vec{m} \cdot \vec{n}$: $\vec{m} \cdot \vec{n} = (5\vec{a} + \vec{b})(2\vec{a} - \vec{b}) = 10|\vec{a}|^2 - 5\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 10(1)^2 - 0 - (1)^2 = 9$ Найдем длины: $|\vec{m}| = \sqrt{(5\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{25|\vec{a}|^2 + 0 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ $|\vec{n}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4|\vec{a}|^2 - 0 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ $\cos \phi = \frac{9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$ **Ответ: $\frac{9}{\sqrt{130}}$**