Даны точки A (2; −1), С (3; 2) и D (-3; 1). Найди координаты векторов АС и AD.

Привет! Давай разберёмся с этими задачками по геометрии и векторам. **1. Даны точки A (2; -1), C (3; 2) и D (-3; 1). Найдите:** 1) Координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)$ $\vec{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)$ 2) Модули векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ $|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ 3) Координаты вектора $\vec{EF} = 3\vec{AC} - 2\vec{AD}$: $\vec{EF} = 3(1; 3) - 2(-5; 2) = (3; 9) - (-10; 4) = (13; 5)$ 4) Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = (1 \cdot -5) + (3 \cdot 2) = -5 + 6 = 1$ 5) Косинус угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}$ **2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:** 1) $\vec{AC} + \vec{CB}$: Это будет вектор $\vec{AB}$. 2) $\vec{BA} - \vec{BC}$: Это будет вектор $\vec{BA} + \vec{CB} = \vec{CA}$. 3) $\vec{AC} + \vec{AB}$: Нужно построить параллелограмм на векторах $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, тогда $\vec{AC} + \vec{AB}$ будет диагональю этого параллелограмма, выходящей из точки A. **3. Даны векторы $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{b} (m; 9)$. При каком значении m векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:** 1) коллинеарны? Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{3}{m} = \frac{-4}{9}$ $m = \frac{3 \cdot 9}{-4} = -\frac{27}{4} = -6.75$ 2) перпендикулярны? Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3m + (-4) \cdot 9 = 0$ $3m - 36 = 0$ $3m = 36$ $m = 12$ **4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM:MB = 3:4, BK:KC = 2:3. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.** $\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AK} = -\vec{AM} + (\vec{AB} + \vec{BK})$ Так как $AM:MB = 3:4$, то $AM = \frac{3}{7} AB$. Аналогично, $BK = \frac{2}{5} BC$. $\vec{AM} = \frac{3}{7} \vec{AB} = \frac{3}{7} \vec{DC} = \frac{3}{7} \vec{b}$ $\vec{BK} = \frac{2}{5} \vec{BC} = \frac{2}{5} \vec{DA} = \frac{2}{5} \vec{a}$ Тогда: $\vec{MK} = -\frac{3}{7} \vec{b} + \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$ **5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{m} = 5\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}$, если $\vec{a} \perp \vec{b}$ и $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.** Если $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = 1$ $\vec{m} \cdot \vec{n} = (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 10|\vec{a}|^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 10 \cdot 1 - 3 \cdot 0 - 1 = 9$ $|\vec{m}|^2 = (5\vec{a} + \vec{b})^2 = 25|\vec{a}|^2 + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 25 + 0 + 1 = 26$ $|\vec{m}| = \sqrt{26}$ $|\vec{n}|^2 = (2\vec{a} - \vec{b})^2 = 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 4 - 0 + 1 = 5$ $|\vec{n}| = \sqrt{5}$ $\cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$ Вот и всё! Если что-то непонятно, спрашивай!