Даны точки A(2; -1), C(3; 2) и D(-3; 1). Найдите координаты векторов, модули, скалярное произведение и косинус угла.

1. Даны точки $A(2; -1)$, $C(3; 2)$ и $D(-3; 1)$. 1) Координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)$ $\vec{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)$ 2) Модули векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ $|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$ 3) Координаты вектора $\vec{EF} = 3\vec{AC} - 2\vec{AD}$: $3\vec{AC} = (3 \cdot 1; 3 \cdot 3) = (3; 9)$ $2\vec{AD} = (2 \cdot (-5); 2 \cdot 2) = (-10; 4)$ $\vec{EF} = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)$ 4) Скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1$ 5) Косинус угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}$ 2. Построение векторов в треугольнике $ABC$: 1) $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$ (правило треугольника). 2) $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$ (правило вычитания векторов с общим началом). 3) $\vec{AC} + \vec{AB}$ — строится по правилу параллелограмма от вершины $A$. 3. Даны векторы $\vec{a}(3; -4)$ и $\vec{b}(m; 9)$. 1) Коллинеарны: $\frac{m}{3} = \frac{9}{-4} \Rightarrow m = \frac{3 \cdot 9}{-4} = -6,75$ 2) Перпендикулярны (скалярное произведение равно $0$): $3 \cdot m + (-4) \cdot 9 = 0 \Rightarrow 3m - 36 = 0 \Rightarrow 3m = 36 \Rightarrow m = 12$ 4. $ABCD$ — параллелограмм. $AM:MB = 3:4$, $BK:KC = 2:3$. $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$. $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{a}$. $\vec{MB} = \frac{4}{7}\vec{AB} = \frac{4}{7}\vec{b}$ $\vec{BK} = \frac{2}{5}\vec{BC} = -\frac{2}{5}\vec{a}$ $\vec{MK} = \vec{MB} + \vec{BK} = \frac{4}{7}\vec{b} - \frac{2}{5}\vec{a}$ 5. $\vec{m} = 5\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}$, где $\vec{a} \perp \vec{b}$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. $\vec{m} \cdot \vec{n} = (5\vec{a} + \vec{b})(2\vec{a} - \vec{b}) = 10\vec{a}^2 - 5\vec{a}\vec{b} + 2\vec{a}\vec{b} - \vec{b}^2 = 10|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$ Так как $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Подставляем значения: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 10 \cdot 1^2 - 3 \cdot 0 - 1^2 = 9$ $|\vec{m}| = \sqrt{(5\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{25\vec{a}^2 + 10\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{25 + 0 + 1} = \sqrt{26}$ $|\vec{n}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{4 - 0 + 1} = \sqrt{5}$ $\cos \phi = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$ Ответ: 1. 1) $\vec{AC}(1; 3), \vec{AD}(-5; 2)$; 2) $|\vec{AC}|=\sqrt{10}, |\vec{AD}|=\sqrt{29}$; 3) $\vec{EF}(13; 5)$; 4) $1$; 5) $\frac{1}{\sqrt{290}}$ 3. 1) $m = -6,75$; 2) $m = 12$ 4. $\vec{MK} = -\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$ 5. $\cos \phi = \frac{9}{\sqrt{130}}$