10. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $AB = \sqrt{11}$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$. Найдите $\cos \angle(B_1D, (DCC_1))$.

**Ответ: 0,6** **Решение:** 1. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. 2. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $(DCC_1)$ является точка $C_1$, так как в прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $DCC_1D_1$ ($B_1C_1 \perp C_1D_1$ и $B_1C_1 \perp C_1C$). 3. Значит, проекцией наклонной $B_1D$ на плоскость $(DCC_1)$ является отрезок $C_1D$. 4. Искомый угол — это $\angle B_1DC_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1C_1D$ (где $\angle B_1C_1D = 90^\circ$). 5. Найдём длины сторон этого треугольника: - $B_1C_1 = AD = 3$ - Из $\triangle DCC_1$ по теореме Пифагора: $C_1D = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ - Из $\triangle B_1C_1D$ по теореме Пифагора (диагональ параллелепипеда): $B_1D = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1D^2} = \sqrt{3^2 + 27} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ 6. Вычисляем косинус искомого угла: $\cos \angle(B_1D, (DCC_1)) = \cos \angle B_1DC_1 = \frac{C_1D}{B_1D} = \frac{\sqrt{27}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **Допущение:** В тексте задания на фото спрашивается $\cos$, однако стандартно в таких задачах часто ищут значение угла. Если требуется именно числовое значение косинуса, то ответ $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$. Но если в условии опечатка и нужен синус (отношение противолежащего катета $B_1C_1=3$ к гипотенузе $B_1D=6$), то ответ будет $0,5$. Перепроверь условие в учебнике. По текущему тексту: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.