Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8$, $BB_1=24$, $AD=6$. Найди синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью $ABD$.

Ответ: 0,92 **Решение:** 1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскость $ABD$ совпадает с плоскостью основания $ABCD$. Рассмотрим диагональ $B_1D$ (можно взять любую диагональ, например $A_1C$, результат будет одинаковым). Проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость основания является отрезок $BD$, так как $B_1B \perp (ABCD)$. Искомый угол — $\angle B_1DB$. Найдём его синус. 2. Из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора найдём диагональ основания $BD$: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ 3. В прямоугольном треугольнике $B_1DB$ ($B_1B$ — высота, $B_1B = 24$) найдём гипотенузу $B_1D$ (диагональ параллелепипеда): $B_1D = \sqrt{BD^2 + B_1B^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ 4. Синус угла $\alpha = \angle B_1DB$ — это отношение противолежащего катета $B_1B$ к гипотенузе $B_1D$: $\sin \alpha = \frac{B_1B}{B_1D} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13} \approx 0,923...$ В школьных задачах ответ обычно оставляют в виде дроби или округляют. $\sin \alpha = \frac{12}{13}$