10. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $AB = \sqrt{11}$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$. Найдите $\cos \angle(B_1D, (DCC_1))$.

Ответ: 0,6 Решение: 1. Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $(DCC_1)$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Так как $B_1C_1 \perp (DCC_1)$, то точка $C_1$ является проекцией точки $B_1$ на плоскость $(DCC_1)$. Следовательно, проекция прямой $B_1D$ — это прямая $C_1D$. Искомый угол — $\angle B_1DC_1$ в прямоугольном треугольнике $B_1C_1D$ (где $\angle B_1C_1D = 90^\circ$). 2. Найдем стороны треугольника $B_1C_1D$: $B_1C_1 = AD = 3$ (противоположные ребра параллелепипеда). Из прямоугольного треугольника $DCC_1$ по теореме Пифагора найдем гипотенузу $DC_1$: $DC_1 = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. 3. Найдем гипотенузу $B_1D$ из прямоугольного треугольника $B_1C_1D$: $B_1D = \sqrt{B_1C_1^2 + DC_1^2} = \sqrt{3^2 + 27} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$. 4. Вычислим косинус искомого угла: $\cos \angle(B_1D, (DCC_1)) = \cos \angle B_1DC_1 = \frac{DC_1}{B_1D} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Допущение:** В условии задачи часто требуется найти синус угла между прямой и плоскостью, что дает ответ 0,5, либо в тексте опечатка в символе искомой величины. Если следовать строго тексту «найдите $\cos$», то ответ $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$. Однако, если в вопросе подразумевался угол между прямой и плоскостью как $\alpha$, то $\sin \alpha = \frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{3}{6} = 0,5$. Перепроверим: косинус угла в самом треугольнике равен $\frac{3\sqrt{3}}{6}$.