10. ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, AB = √11, AD = 3, AA1 = 4. Найдите cos ∠(B1D, (DCC1)).

**Ответ: cos ∠(B₁D, (DCC₁)) = 1/2 (или 0,5)** **Решение:** 1. **Находим угол между прямой и плоскостью:** Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $DCC_1$ — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $DCC_1$. Значит, точка $C_1$ является проекцией точки $B_1$ на эту плоскость. Следовательно, проекция прямой $B_1D$ на плоскость $DCC_1$ — это отрезок $C_1D$. Искомый угол — $\angle B_1DC_1$. 2. **Находим длины сторон в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1C_1D$:** В этом треугольнике $\angle B_1C_1D = 90^\circ$ (так как $B_1C_1 \perp DCC_1$). $B_1C_1 = AD = 3$ (противоположные ребра). $C_1D$ найдем из прямоугольного $\triangle D C C_1$ по теореме Пифагора: $C_1D = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. $B_1D$ найдем из прямоугольного $\triangle B_1C_1D$ по теореме Пифагора: $B_1D = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1D^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{27})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$. 3. **Вычисляем косинус:** $\cos \angle B_1DC_1 = \frac{C_1D}{B_1D} = \frac{\sqrt{27}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Допущение:** В условии на картинке требуется найти $\cos \angle(B_1D, (DCC_1))$. Однако, исходя из стандартных задач такого типа и расположения букв, часто ищут именно угол $\angle B_1DC_1$. Проверим еще раз: если ищется косинус угла именно между прямой и плоскостью, то это отношение прилежащего катета $C_1D$ к гипотенузе $B_1D$. $\cos \angle B_1DC_1 = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Если же в вопросе подразумевается $\cos \angle B_1 D C_1$, то ответ $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Если закралась опечатка и нужно найти синус угла (который равен $\frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{3}{6} = 0,5$), проверь текст вопроса. Согласно тексту на фото: $\cos \angle(B_1D, (DCC_1)) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$.