Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором грань ABCD является квадратом. Известно, что AB = 8, AA1 = √105. Найдите косинус угла между прямыми A1D и AC.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0; 0; 0)$. Пусть оси $x$, $y$, $z$ направлены вдоль рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $AB = 8$, а высота $AA_1 = \sqrt{105}$, определим координаты нужных точек: $A(0; 0; 0)$ $C(8; 8; 0)$ $D(0; 8; 0)$ $A_1(0; 0; \sqrt{105})$ Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{A_1D}$: $\vec{AC} = \{8 - 0; 8 - 0; 0 - 0\} = \{8; 8; 0\}$ $\vec{A_1D} = \{0 - 0; 8 - 0; 0 - \sqrt{105}\} = \{0; 8; -\sqrt{105}\}$ Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos\alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{A_1D}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{A_1D}|}$ 1. Скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{A_1D} = 8 \cdot 0 + 8 \cdot 8 + 0 \cdot (-\sqrt{105}) = 0 + 64 + 0 = 64$ 2. Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ $|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 8^2 + (-\sqrt{105})^2} = \sqrt{0 + 64 + 105} = \sqrt{169} = 13$ 3. Вычисляем косинус: $\cos\alpha = \frac{64}{8\sqrt{2} \cdot 13} = \frac{8}{13\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{13}$ **Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{13}$**