1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.

**Задание 1** **Ответ: 64°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180°$. 1. Найдём сумму двух углов при основании: $180° - 52° = 128°$. 2. Найдём один угол при основании: $128° : 2 = 64°$. **Задание 2** **Ответ: 74°** Внешний угол треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными. Сумма смежных углов равна $180°$. Внешний угол = $180° - 106° = 74°$. **Задание 3** **Ответ: 75°** 1. На рисунке накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $MF$ и секущей $BK$ равны ($43° = 43°$). Это значит, что прямые $AD$ и $MF$ параллельны. 2. Угол $CEF = 105°$. Угол $BCE$ и угол $CEF$ — односторонние при параллельных прямых $AD$, $MF$ и секущей $CE$. Их сумма равна $180°$. 3. Угол $C$ (точнее $\angle BCE$) = $180° - 105° = 75°$. **Задание 4** **Ответ: 37 см, 37 см, 20 см** В тупоугольном равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, значит, основание — самая большая сторона. Боковые стороны равны между собой. **Допущение:** Пусть боковая сторона равна $x$ см, тогда основание равно $x + 17$ см (так как основание в тупоугольном треугольнике всегда длиннее боковой стороны). Периметр — это сумма всех сторон: $x + x + (x + 17) = 77$. $3x + 17 = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ (см) — боковая сторона. $20 + 17 = 37$ (см) — основание. Проверка: $20 + 20 + 37 = 77$ см. Условие существования треугольника выполняется ($20 + 20 > 37$).