В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите углы A, B, C, если известно, что один из углов прямой, а другой равен 30 градусов.

1. **Дано:** $\triangle ABC$, $AB < BC < AC$. Один угол — $90^{\circ}$, другой — $30^{\circ}$. **Найти:** $\angle A, \angle B, \angle C$. **Решение:** В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей — меньший. Так как $AB < BC < AC$, то $\angle C < \angle A < \angle B$. Самый большой угол в прямоугольном треугольнике — прямой ($90^{\circ}$), значит, $\angle B = 90^{\circ}$. Самый маленький угол по условию $30^{\circ}$, значит, $\angle C = 30^{\circ}$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$, тогда $\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ:** $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$. 2. **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle A = 90^{\circ}$. $\angle C = \angle B + 40^{\circ}$. **Найти:** $\angle B, \angle C$. **Решение:** Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. Так как $\angle A = 90^{\circ}$, то $\angle B + \angle C = 90^{\circ}$. $x + x + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ}$ $x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$) $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ:** $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$. 3. **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 70^{\circ}$. $CD$ — биссектриса $\angle C$. **Найти:** углы $\triangle BCD$. **Решение:** 1) В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$. 2) Так как $CD$ — биссектриса прямого угла $C$, то $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. 3) В $\triangle BCD$: $\angle BDC = 180^{\circ} - (\angle B + \angle BCD) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. **Ответ:** $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. 4*. **Дано:** $\triangle ABC$ — равнобедренный. $P = 50$ см. Одна сторона на 13 см меньше другой. **Найти:** стороны треугольника. **Решение:** Рассмотрим два случая: **Случай 1:** Основание $a$ на 13 см меньше боковой стороны $b$. $b = x, a = x - 13$. $P = 2x + (x - 13) = 50$ $3x = 63 \Rightarrow x = 21$ см (боковая сторона). Основание: $21 - 13 = 8$ см. Проверка неравенства треугольника: $21 + 21 > 8$ (верно). **Случай 2:** Боковая сторона $b$ на 13 см меньше основания $a$. $b = x, a = x + 13$. $P = 2x + (x + 13) = 50$ $3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$ см (боковая сторона). Основание: $12\frac{1}{3} + 13 = 25\frac{1}{3}$ см. Проверка: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3}$. Так как $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$, такой треугольник не существует. **Ответ:** 21 см, 21 см, 8 см.