Экзаменационный билет №11. 1. Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента. 2. Найти сумму корней уравнения: $\sqrt{3x - 5} - \sqrt{x - 3} = 2$, 3. Вычислить определенный интеграл: $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x}$

1. **Основные тригонометрические формулы:** - Формулы сложения: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$ - Формулы двойного аргумента: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha$ $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ - Формулы половинного аргумента: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$ $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$ 2. **Решение уравнения:** $\sqrt{3x-5} - \sqrt{x-3} = 2$ - Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 3$. - Перенесем корень: $\sqrt{3x-5} = 2 + \sqrt{x-3}$. - Возведем обе части в квадрат: $3x - 5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + x - 3$. - Упростим: $3x - 5 = x + 1 + 4\sqrt{x-3} \Rightarrow 2x - 6 = 4\sqrt{x-3} \Rightarrow x - 3 = 2\sqrt{x-3}$. - Введем замену $t = \sqrt{x-3}$ ($t \ge 0$): $t^2 = 2t \Rightarrow t^2 - 2t = 0 \Rightarrow t(t-2) = 0$. - Корни замены: $t_1 = 0$, $t_2 = 2$. - Вернемся к $x$: $\sqrt{x-3} = 0 \Rightarrow x=3$; $\sqrt{x-3} = 2 \Rightarrow x-3=4 \Rightarrow x=7$. - Сумма корней: $3 + 7 = 10$. **Ответ:** 10. 3. **Вычисление интеграла:** $\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x}$ - Внимание: подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ терпит разрыв второго рода в точке $x = \frac{\pi}{2}$. - Так как точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку интегрирования $[0, \pi]$, данный интеграл является несобственным и **расходится**.