Найти внешний угол при вершине C в треугольнике ABC, если угол C равен 133 градусам.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^{\circ}$. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, поэтому внешний угол при вершине $C$ равен $180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ}$. **Ответ: $47^{\circ}$** 2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle C = 90^{\circ}$) медиана $CM$, проведённая к гипотенузе $AB$, равна половине гипотенузы. То есть $CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB$. По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Допущение: $AC$ не дано, но по рисунку и условию, $M$ - середина $AB$, а $C$ - вершина прямого угла. $AB=36$, $BC=20$. Так как $M$ - середина $AB$, то $CM$ - медиана, проведённая к гипотенузе. Длина медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. $CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$. **Ответ: $18$** 3. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны по длине, и образуют равные углы с линией, соединяющей эту точку с центром окружности. Пусть касательные пересекаются в точке $P$ (не указано на рисунке, но подразумевается). Тогда $OA \perp PA$ и $OB \perp PB$. Четырёхугольник $PAOB$ имеет сумму углов $360^{\circ}$. $ \angle AOB = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} $. Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA = OB = R$. Поэтому $ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 122^{\circ}}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} $. **Ответ: $29^{\circ}$** 4. Вписанный угол $ACB$ равен половине центрального угла $AOB$, опирающегося на ту же дугу $AB$. Если $ \angle AOB = 64^{\circ} $, то $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 64^{\circ} = 32^{\circ} $. **Ответ: $32^{\circ}$** 5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Если один из углов равен $41^{\circ}$, то смежный с ним угол равен $180^{\circ} - 41^{\circ} = 139^{\circ}$. Больший угол параллелограмма будет $139^{\circ}$. **Ответ: $139^{\circ}$** 6. В параллелограмме $ABCD$ $ \angle A + \angle B = 180^{\circ} $. Диагональ $BD$ делит угол $B$ на два угла: $ \angle ABD = 50^{\circ} $ и $ \angle CBD = 65^{\circ} $. Значит, $ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 50^{\circ} + 65^{\circ} = 115^{\circ} $. Так как $AD \parallel BC$, то $ \angle ADB = \angle CBD = 65^{\circ} $ (как накрест лежащие углы). Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^{\circ}$. $ \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 65^{\circ} = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} $. Меньший угол параллелограмма — это $ \angle A $ или $ \angle C $. $ \angle A = 65^{\circ} $. $ \angle B = 115^{\circ} $. Меньший угол — $65^{\circ}$. **Ответ: $65^{\circ}$** 7. Ромб изображён на клетчатой бумаге. Сторона клетки $1 \times 1$. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Посчитаем клетки: большая диагональ $d_1 = 8$ клеток. Малая диагональ $d_2 = 6$ клеток. Площадь $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ квадратных единиц. **Ответ: $24$** 8. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Дано $h = 9\sqrt{3}$. $9\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ $9 = \frac{a}{2}$ $a = 18$ Периметр равностороннего треугольника $P = 3a$. $P = 3 \cdot 18 = 54$. **Ответ: $54$**