В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите стороны оснований пирамиды.

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота $H$, апофема $l$ и разность радиусов вписанных окружностей оснований образуют прямоугольный треугольник. 1. Найдем разность длин перпендикуляров, проведенных из центров оснований к их сторонам. В правильном четырехугольнике (квадрате) этот перпендикуляр равен половине стороны: $r_1 = \frac{a}{2}$ и $r_2 = \frac{b}{2}$. По теореме Пифагора: $(r_1 - r_2)^2 + H^2 = l^2$. $(\frac{a - b}{2})^2 + 63^2 = 65^2$ $(\frac{a - b}{2})^2 = 65^2 - 63^2$ $(\frac{a - b}{2})^2 = (65 - 63)(65 + 63) = 2 \cdot 128 = 256$ $\frac{a - b}{2} = \sqrt{256} = 16$ $a - b = 32$ 2. Используем отношение сторон $a : b = 7 : 3$. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда $a = 7x$, $b = 3x$. $7x - 3x = 32$ $4x = 32$ $x = 8$ 3. Вычислим стороны: $a = 7 \cdot 8 = 56$ (см) $b = 3 \cdot 8 = 24$ (см) **Ответ: 56 см и 24 см.**