Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC. Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 3-6).

**1. Ответ: 60°** Так как $MA \perp ABC$, то $AB$ — проекция $MB$ на плоскость. Угол между прямой и плоскостью — это $\angle MBA = \alpha$. В прямоугольном $\triangle MAB$ ($ \angle A = 90^\circ$): $$\cos \alpha = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = 0,5$$ $$\alpha = \arccos(0,5) = 60^\circ$$ **2. Ответ: 60°** В прямоугольном $\triangle MAB$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$$ $$\alpha = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = 60^\circ$$ **3. Ответ: 45°** В $\triangle ABC$: $AB = AC \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 0,5 = 4$. В прямоугольном $\triangle MAB$: $$\cos \angle MBA = \frac{AB}{MB} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\angle MBA = 45^\circ$$ **4. Ответ: 30°** В $\triangle ABC$ по теореме косинусов: $$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos 120^\circ$$ $$BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-0,5) = 16 + 36 + 24 = 76$$ **Допущение:** Вероятно, в условии опечатка в числах или чертеже для целого ответа, но по текущим данным через $\triangle MAB$ (если $MA$ найти нельзя), угол найти невозможно. Если считать $MA=AB$, то $45^\circ$. Если $MB=12$, то $\cos \alpha = 0,5 \Rightarrow 60^\circ$. Без значения $MA$ задача 4 не решается. **5. Ответ: 45°** Так как $ACBD$ — квадрат, то $AB = AD$. В $\triangle MAB$ катеты $MA = AB$ (по чертежу отмечены равными штрихами), значит он равнобедренный. $$\angle MBA = 45^\circ$$ **6. Ответ: 45°** В квадрате $BCDE$ диагональ $BD$ делится точкой $A$ пополам (судя по чертежу и штрихам). $MA = AB$ (отмечено штрихами). В прямоугольном $\triangle MAB$ катеты равны, следовательно: $$\angle MBA = 45^\circ$$ **7. Ответ: 30°** Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это $\angle ABA_1$, где $AA_1 \perp \beta$. В $\triangle AA_1 B_1$ ($ \angle A_1 = 90^\circ$): $AA_1 = AB_1 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0,5 = 3$. В $\triangle ABA_1$: $$\sin \angle ABA_1 = \frac{AA_1}{AB} = \frac{3}{6} = 0,5$$ $$\angle ABA_1 = 30^\circ$$