Дано: прямая MA перпендикулярна плоскости α. Найти угол между прямой MB и плоскостью α.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Во всех задачах $MA \perp \alpha$, значит, точка $A$ является проекцией точки $M$, а отрезок $AB$ — проекцией наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$. Искомый угол — $\angle MBA$ (в прямоугольном $\triangle MAB$, где $\angle A = 90^\circ$). 1. Дано: $MB = 10, AB = 5$. $\cos(\angle MBA) = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle MBA = 60^\circ$. **Ответ: 60°**. 2. Дано: $MA = 5\sqrt{3}, AB = 5$. $\text{tg}(\angle MBA) = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3} \Rightarrow \angle MBA = 60^\circ$. **Ответ: 60°**. 3. Сначала найдём $AB$ из $\triangle ABC$. По теореме косинусов: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(30^\circ)$ (недостаточно данных о стороне $BC$). **Допущение:** $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$). Тогда $AB = AC \cdot \text{tg}(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ или $AB = AC \cdot \sin(30^\circ) = 4$. Если $AB = 4$, то в $\triangle MAB$: $\cos(\angle MBA) = \frac{AB}{MB} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \angle MBA = 45^\circ$. **Ответ: 45°**. 4. Найдём $AB$ в $\triangle ABC$ по теореме косинусов: $AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(120^\circ) = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-0,5) = 16 + 36 + 24 = 76 \Rightarrow AB = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. В $\triangle MAB$ (если задано $MA$ или $MB$, которые неразборчивы): **Недостаточно данных для решения**. 5. $ACBD$ — квадрат, значит $AB$ — диагональ. $AB = AD\sqrt{2}$. По чертежу $MA = AD$, значит $AB = MA\sqrt{2}$. В $\triangle MAB$: $\text{tg}(\angle MBA) = \frac{MA}{AB} = \frac{MA}{MA\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\angle MBA = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. **Ответ: arctg(√2/2)**.