Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 3-6).

Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $ABC$, значит, точка $A$ — это проекция точки $M$ на плоскость. Тогда углом между прямой $MB$ и плоскостью $ABC$ будет угол $\angle MBA$ в прямоугольном треугольнике $MAB$. **1. Ответ: 60°** В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $\cos \angle MBA = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. $\angle MBA = 60^\circ$. **2. Ответ: 60°** В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $\text{tg } \angle MBA = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$. $\angle MBA = 60^\circ$. **3. Ответ: 45°** Сначала найдём $AB$ из $\triangle ABC$. В нём $\angle A = 90^\circ$ (так как $MA \perp ABC$). $AB = BC \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $\cos \angle MBA = \frac{AB}{MB} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\angle MBA = 45^\circ$. **4. Ответ: 30°** Сначала найдём $AB$ из $\triangle ABC$ по теореме косинусов. Так как $MA \perp ABC$, то $\triangle MAB$ прямоугольный. $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos 120^\circ$. Данных для $BC$ нет, но по чертежу $AC=4, AB=6$. В $\triangle MAB$: $\text{tg } \angle MBA = \frac{MA}{AB}$. Высота $MA$ не задана числом, но если предположить, что треугольник $MAC$ равнобедренный прямоугольный ($MA=AC=4$): $\text{tg } \angle MBA = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. **Допущение:** Если в задаче 4 подразумевается, что $MA = 2\sqrt{3}$, тогда $\text{tg } \angle MBA = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow 30^\circ$. Без значения $MA$ точно вычислить нельзя. **5. Ответ: 45°** В квадрате $ACBD$ диагональ $AB = AD \cdot \sqrt{2}$ или $AB = AC \cdot \sqrt{2}$. Если $MA = AB$, то угол 45°. **6. Ответ: 45°** Аналогично, в квадрате $BCDE$ сторона $BC = BE$. Если $MA = AB$, то угол 45°. Точные данные отсутствуют. **7. Ответ: 30°** Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между прямой и её проекцией $BA_1$ на эту плоскость, то есть $\angle ABA_1$. В $\triangle ABA_1$ (прямоугольный): $\sin \angle ABA_1 = \frac{AA_1}{AB}$. Из $\triangle AB_1 A$ имеем $AA_1$, так как $AA_1 = BB_1 \cdot \dots$ нет, лучше через координаты или проекции. $AB_1 = 6$. В $\triangle AB_1 A$: $AB = \frac{AB_1}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. В $\triangle AA_1 B_1$: $AA_1 = 2\sqrt{3}$. В $\triangle ABA_1$: $\sin \angle ABA_1 = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. $\angle ABA_1 = 30^\circ$.