Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC. Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 1-3).

**Ответ: 1) 60°; 2) 60°; 3) 45°** По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Так как $MA \perp ABC$, то точка $A$ является проекцией точки $M$, а отрезок $AB$ — проекцией наклонной $MB$. 1) В прямоугольном $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $cos(\angle MBA) = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = 0,5$ $\angle MBA = 60^\circ$ 2) В прямоугольном $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $tg(\angle MBA) = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$ $\angle MBA = 60^\circ$ 3) В $\triangle ABC$ по теореме косинусов найдем $AB$: $AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot cos(30^\circ)$ $AB^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64 + 48 - 96 = 16$ $AB = \sqrt{16} = 4$ В прямоугольном $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $cos(\angle MBA) = \frac{AB}{MB} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\angle MBA = 45^\circ$