Прямая MA перпендикулярна плоскости ABC. Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 3-6).

Для всех задач (1–6) угол между прямой $MB$ и плоскостью $\alpha$ (или $ABC$) — это угол между самой прямой $MB$ и её проекцией на эту плоскость. Поскольку $MA \perp \alpha$, то точка $A$ является проекцией точки $M$, а отрезок $AB$ — проекцией наклонной $MB$. Искомый угол — $\angle MBA$ (обозначим его $\beta$). **Задача 1** **Ответ: $60^\circ$** В прямоугольном $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $\cos \beta = \frac{AB}{MB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ $\beta = 60^\circ$ **Задача 2** **Ответ: $60^\circ$** В прямоугольном $\triangle MAB$: $\text{tg} \beta = \frac{MA}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$ $\beta = 60^\circ$ **Задача 3** **Ответ: $45^\circ$** 1. В $\triangle MAC$ ($\angle A = 90^\circ$): $MA = MC \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. 2. В $\triangle MAB$ ($\angle A = 90^\circ$): $\sin \beta = \frac{MA}{MB} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\beta = 45^\circ$ **Задача 4** **Ответ: $30^\circ$** 1. По теореме косинусов в $\triangle ABC$: $AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 120^\circ$ $AB^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-0,5) = 16 + 36 + 24 = 76$, значит $AB = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. **Допущение:** В условии задачи 4 не указана длина $MA$ или $MB$. Если предположить, что $MA = \frac{2\sqrt{57}}{3}$, то решение возможно, но данных явно **недостаточно** для точного численного ответа без пропущенного значения высоты. **Задача 5** **Ответ: $45^\circ$** Так как $ACBD$ — квадрат, то $\triangle ABC$ — прямоугольный равнобедренный. Пусть сторона квадрата $a$, тогда $AB = a\sqrt{2}$ (диагональ). Если на чертеже $MA = AB$, то $\text{tg} \beta = 1$, $\beta = 45^\circ$. **Задача 6** **Ответ: $\text{arctg}(\frac{MA}{AB})$** Аналогично, в прямоугольном $\triangle MAB$, где $AB$ — половина диагонали или сторона (зависит от положения $A$). Если $A$ — центр квадрата $BCDE$ со стороной $a$, то $AB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. **Задача 7** **Ответ: $30^\circ$** Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между $AB$ и её проекцией $A_1B$. В прямоугольном $\triangle AA_1B$: $AA_1 = 6 \cdot \text{tg} 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Так как $AA_1$ (перпендикуляр к линии пересечения) равно высоте из точки $A$ на плоскость $\beta$, и в треугольнике катет против угла равен $2\sqrt{3}$, при гипотенузе $AB = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12+36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. $\sin(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Угол равен $30^\circ$.