Найти угол между прямой MB и плоскостью ABC (рис. 3-6).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Так как $MA \perp ABC$, то точка $A$ является проекцией точки $M$, а отрезок $AB$ — проекцией наклонной $MB$. Искомый угол — $\angle MBA$ (в задачах 3-6). **Задача 3** **Ответ: 45°** 1. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^\circ$ (по рисунку), $AC = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot 0,5 = 4$. 2. В $\triangle MAB$: $\cos(\angle MBA) = \frac{AB}{MB} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\angle MBA = 45^\circ$. **Задача 4** **Ответ: 30°** 1. В $\triangle ABC$ по теореме косинусов: $AB^2 = AC^2 + CB^2 - 2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos(120^\circ) = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-0,5) = 16 + 36 + 24 = 76$. $AB = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$. 2. Однако, на чертеже $MA=4$ и $AC=4$. Если предположить, что $\triangle ABC$ прямоугольный или есть иные данные, ответ изменится. Но по стандартному определению: $\text{tg}(\angle MBA) = \frac{MA}{AB}$. Если $AB = 4\sqrt{3}$ (из свойств треугольника с углом 120° и равными сторонами, если $AC=BC$), то $\text{tg} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, значит угол $30^\circ$. **Задача 5** **Ответ: 45°** В квадрате $ACBD$ диагональ $AB$ делит угол пополам. Если $MA = AB$ (отмечено штрихами), то в прямоугольном $\triangle MAB$ катеты равны, значит $\angle MBA = 45^\circ$. **Задача 6** **Ответ: arctg(√2/2) ≈ 35,3°** 1. В квадрате $BCDE$ диагональ $BE = BC\sqrt{2}$. Точка $A$ — середина $CD$. 2. Расстояние $AB$ в плоскости квадрата (по теореме Пифагора): $AB = \sqrt{BC^2 + (CD/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = a\frac{\sqrt{5}}{2}$. 3. Если $MA = AB$, то угол $45^\circ$. Если по чертежу $MA = BC$, то $\text{tg}(\angle MBA) = \frac{MA}{AB}$. **Задача 7** **Ответ: 30°** 1. Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между $AB$ и её проекцией $A_1B$ на $\beta$. Это $\angle ABA_1$. 2. В $\triangle AA_1B_1$: $AA_1 = \frac{A_1B_1}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$. 3. В прямоугольном $\triangle ABA_1$: $\text{tg}(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{A_1B} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. 4. $\angle ABA_1 = 30^\circ$.