В треугольнике ABC AC=BC=8√7, cosBAC=0,75. Найдите высоту AH.

**Ответ: 14** Решение: 1. Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AC = BC = 8\sqrt{7}$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 2. Нам дан $\cos \angle BAC = 0{,}75$. Следовательно, $\cos \angle ABC = 0{,}75$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). В нём высота $AH$ является противолежащим катетом для угла $B$. 4. Зная косинус угла $B$, найдём его синус через основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$$ $$\sin^2 B = 1 - 0{,}75^2 = 1 - 0{,}5625 = 0{,}4375$$ $$\sin B = \sqrt{0{,}4375} = \sqrt{\frac{4375}{10000}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ 5. В прямоугольном треугольнике $AHB$ синус угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AH$ к гипотенузе $AB$: $$\sin B = \frac{AH}{AB} \implies AH = AB \cdot \sin B$$ 6. Чтобы найти $AB$, проведём высоту $CM$ из вершины $C$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике она является медианой, значит $AM = MB = \frac{AB}{2}$. Из прямоугольного треугольника $AMC$: $$\cos A = \frac{AM}{AC} \implies AM = AC \cdot \cos A = 8\sqrt{7} · 0{,}75 = 6\sqrt{7}$$ Тогда все основание $AB = 2 \cdot AM = 12\sqrt{7}$. 7. Теперь вычислим высоту $AH$: $$AH = AB \cdot \sin B = 12\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{12 \cdot 7}{4} = 3 \cdot 7 = 21$$ **Допущение:** В условии или расчётах часто бывает путаница между углом при основании и углом при вершине. Пересчитаем через треугольник $AHC$: В прямоугольном треугольнике $AHC$ (гипотенуза $AC = 8\sqrt{7}$, угол $C$): Углы треугольника: $\angle A = \angle B$, тогда $\angle C = 180^∘ - 2\angle A$. $$\cos C = \cos(180^∘ - 2A) = -\cos(2A) = -(2\cos^2 A - 1) = 1 - 2 \cdot 0{,}75^2 = 1 - 1{,}125 = -0{,}125$$ $$\sin^2 C = 1 - (-0{,}125)^2 = 1 - 0{,}015625 = 0{,}984375$$ $$\sin C = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$$ В треугольнике $AHC$: $$AH = AC \cdot \sin C = 8\sqrt{7} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = 3 \cdot 7 = 21$$ **Ответ: 21**