В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 4\sqrt{15}$, $\cos BAC = 0,25$. Найдите высоту $AH$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC=BC=4\sqrt{15}$. Это значит, что треугольник равнобедренный. Высота $AH$ проведена к стороне $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём нам нужно найти $AH$. Мы знаем, что $\cos \angle BAC = 0,25$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle ABC$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ABH$: $$AH = AB \cdot \sin \angle ABC$$ Мы знаем $\cos \angle ABC = 0,25$. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\sin \angle ABC$: $$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$$ $$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC$$ $$\sin^2 \angle ABC = 1 - (0,25)^2$$ $$\sin^2 \angle ABC = 1 - 0,0625$$ $$\sin^2 \angle ABC = 0,9375$$ $$\sin \angle ABC = \sqrt{0,9375} = \sqrt{\frac{9375}{10000}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 625}{16 \cdot 625}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ Теперь найдём сторону $AB$. Для этого проведём высоту $CK$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике $CK$ является также медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. $$\cos \angle BAC = \frac{AK}{AC}$$ $$AK = AC \cdot \cos \angle BAC$$ $$AK = 4\sqrt{15} \cdot 0,25 = 4\sqrt{15} \cdot \frac{1}{4} = \sqrt{15}$$ Так как $K$ — середина $AB$, то $AB = 2 \cdot AK$. $$AB = 2 \cdot \sqrt{15}$$ Теперь можем найти $AH$: $$AH = AB \cdot \sin \angle ABC = 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$$ $$AH = \frac{2 \cdot 15}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$$ **Ответ:** $7,5$