1. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. **Ответ: 71** Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Чтобы найти третий угол, нужно из $180^{\circ}$ вычесть сумму двух известных углов: $$180^{\circ} - (36^{\circ} + 73^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$$ 2. **Ответ: 60** В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) высота $CD$ делит его на два подобных треугольника. Рассмотрим треугольник $CDB$. Он прямоугольный ($\angle CDB = 90^{\circ}$). По условию $DB = 3$ (катет), $BC = 6$ (гипотенуза). Если катет в два раза меньше гипотенузы ($3 = 6 / 2$), то угол, лежащий против этого катета, равен $30^{\circ}$. Значит, $\angle DCB = 30^{\circ}$. Так как $\angle C = 90^{\circ}$, то $\angle ACD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. В треугольнике $ADC$: $\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ — стоп, проверим еще раз. В треугольнике $ABC$: $\cos B = DB/BC = 3/6 = 0,5 \Rightarrow \angle B = 60^{\circ}$. Тогда $\angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. **Исправленный ответ: 30** 3. **Ответ: 80** 1) Так как $CM$ — биссектриса угла $BCD$, то $\angle BCD = 2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}$. 2) Угол $BCD$ — внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle BCD = \angle A + \angle B$. 3) По условию $AC = BC$, значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. 4) Тогда $100^{\circ} = 2 \cdot \angle BAC \Rightarrow \angle BAC = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$. **Исправленный ответ: 50** 4. **Ответ: 12** **Доказательство:** Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$: 1) $BD$ — общая сторона. 2) $\angle ADB = \angle CBD = 90^{\circ}$ (по рисунку). 3) На рисунке отмечено, что $AD = BC$ (штрихами). Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CDB$ по двум катетам (или по гипотенузе и катету). В равных треугольниках соответствующие стороны равны, значит, $DC = AB = 12$ см.