1. В $\Delta ABC$ $AB > BC > AC$. Найти $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, если известно, что один из углов треугольника равен $120^\circ$, а другой $40^\circ$.

### Блок 1 1. В треугольнике сумма углов $180^\circ$. У нас есть $120^\circ$ и $40^\circ$, тогда третий угол: $180 - (120 + 40) = 20^\circ$. По условию $AB > BC > AC$, значит, углы соотносятся как $\angle C > \angle A > \angle B$ (против большей стороны лежит больший угол). Значит, $\angle C = 120^\circ$, $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 20^\circ$. 2. Пусть $\angle C = x$, тогда $\angle B = x/12$. Сумма углов: $50 + x + x/12 = 180$. $13x/12 = 130$, откуда $x = 120^\circ$. Тогда $\angle C = 120^\circ$, $\angle B = 10^\circ$. 3. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle A = 180 - 90 - 35 = 55^\circ$. В $\triangle ACD$ ($\angle D = 90^\circ$): $\angle A = 55^\circ$, $\angle ACD = 90 - 55 = 35^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$. 4. Обозначим стороны $x, x, y$. Периметр $2x + y = 45$. Возможны два случая: $y = x+12$ или $y = x-12$ (но здесь $y$ — третья сторона). Если стороны $a, a, a-12$, то $3a - 12 = 45$, $a = 19$. Стороны: $19, 19, 7$. Если стороны $a, a, a+12$, то $3a + 12 = 45$, $3a = 33$, $a = 11$. Стороны: $11, 11, 23$ (не подходит по неравенству треугольника $11+11=22 < 23$). Ответ: $19, 19, 7$. 5. Пусть внутренние углы $\alpha, \beta, \gamma$. Внешний угол при $A$ равен $180 - \alpha$, при $B$ равен $180 - \beta$. По условию $\beta = 3\alpha$ и $(180 - \alpha) = (180 - \beta) + 40$. Подставим $\beta$: $180 - \alpha = 180 - 3\alpha + 40 \Rightarrow 2\alpha = 40 \Rightarrow \alpha = 20^\circ$. Тогда $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 180 - 20 - 60 = 100^\circ$. 6. $\triangle ABC$: $\angle C=90^\circ, \angle B=70^\circ \Rightarrow \angle A=20^\circ$. $CD=CB$, значит $\triangle BCD$ равнобедренный, $\angle CDB = \angle CBD = (180 - (90-20))/2$ — неверно, $CD$ на катете $AC$. В $\triangle BCD$ (прямоугольный при $C$): $\angle BCD = 90^\circ$. Но $CD$ — отрезок на катете, $CD=CB$. В $\triangle BCD$: $\angle BDC = \angle DBC = 45^\circ$. Тогда $\angle ABD = \angle B - \angle DBC = 70 - 45 = 25^\circ$, $\angle BAD = 20^\circ$, $\angle ADB = 180 - 25 - 20 = 135^\circ$. ### Блок 2 1. В $\triangle ABC$: $\angle C=60^\circ, \angle B=90^\circ \Rightarrow \angle A=30^\circ$. В прямоугольном $\triangle BB_1A$ ($BB_1$ высота, $\angle B_1=90^\circ$): против угла $30^\circ$ лежит катет $BB_1=2$, значит гипотенуза $AB = 2 \cdot BB_1 = 4$ см. 2. Расстояние от точки на биссектрисе до сторон угла равно. Биссектриса делит угол $M$. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $M$. Расстояние от $O$ до $MN$ равно расстоянию от $O$ до $MK$. В $\triangle OKN$ ($\angle K=90^\circ$, $NK$ — высота): $\angle KNO = 90 - \angle M$. Геометрическое свойство: расстояние равно $OK = 9$ см. 3. Пусть гипотенуза $c$, катет $a$. $\angle = 30^\circ$ (так как $60^\circ$ другой, то $30^\circ$ против меньшего катета). $a = c/2$. $c + c/2 = 42 \Rightarrow 1.5c = 42 \Rightarrow c = 28$ см. 4. $\triangle ABC$: $\angle A=90^\circ, \angle B=60^\circ \Rightarrow \angle C=30^\circ$. $AD=4$. $\angle DBC=30^\circ$. В $\triangle ABD$: $\angle ADB = 180 - (90 - 30) = 120^\circ$ — нет, $\angle ADB = 180 - (90 + 30) = 60^\circ$. В $\triangle ABD$: $AB = AD / \tan(60^\circ) = 4 / \sqrt{3}$. В $\triangle ABC$: $AC = AB \cdot \tan(60^\circ) = (4/\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 4$. Расстояние от $D$ до $BC$ — это перпендикуляр $DE$ из $D$ на $BC$. В $\triangle DEC$ ($30^\circ-60^\circ-90^\circ$): $DC = AC - AD$ — невозможно, так как $D$ на $AC$. $DC = |4-4|=0$ (точка $D$ совпадает с $A$?). Вероятно, $D$ на стороне $AC$ и $DA=4$ неверно, если $AC=4$. Перепроверим: если $DA=4$, и $D$ на $AC$, то $AC > 4$. $\triangle DBC$: $\angle DBC=30^\circ, \angle C=30^\circ \Rightarrow \triangle DBC$ равнобедренный, $DB=DC$. $AC = AD + DC$. $DC = AB / \cos(30^\circ) \cdot ...$ задача требует уточнения расположения точек.