Даны два прямоугольных треугольника ABC и ADC (рис.1). AC – биссектриса, $\angle BAC = 35^\circ$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle ADC$. Найти $\angle BCD$.

1. Даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ (рис. 1). $AC$ — биссектриса. $\angle BAC = 35^\circ$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle ADC$. Найти $\angle BCD$. 1. Докажем равенство треугольников: Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У нас есть: * $AC$ — общая сторона. * $\angle BAC = \angle DAC = 35^\circ$ (так как $AC$ — биссектриса). * $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (прямоугольные треугольники). Так как треугольники имеют по одной общей стороне, равным прилежащим углам и по одному прямому углу, они равны по гипотенузе и острому углу. Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$. 2. Найдём $\angle BCD$. В $\triangle ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. Значит: $\angle BCA = 180^\circ - \angle B - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Так как $\triangle ABC = \triangle ADC$, то соответствующие углы равны, значит, $\angle DCA = \angle BCA = 55^\circ$. Тогда $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$. **Ответ: $\triangle ABC = \triangle ADC$, $\angle BCD = 110^\circ$**