В треугольнике два угла равны $36^\circ$ и $73^\circ$. Найдите его третий угол.

1. Чтобы найти третий угол в треугольнике, нужно из $180^\circ$ вычесть сумму двух известных углов: $$180^\circ - (36^\circ + 73^\circ) = 180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$ **Ответ: $71^\circ$** 2. Третий угол равен: $$180^\circ - (43^\circ + 88^\circ) = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ$$ **Ответ: $49^\circ$** 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CD$ делит его на два подобных прямоугольных треугольника: $ACD$ и $BCD$. Из подобия треугольников $ABC$ и $CBD$ следует, что $\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}$, то есть $BC^2 = AB \cdot BD$. Также из подобия треугольников $ABC$ и $ACD$ следует, что $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}$, то есть $AC^2 = AB \cdot AD$. В данном случае $BC = 16$, $DB = 8$. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, то $\angle C = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $CDB$: $BC^2 = CD^2 + DB^2$. В прямоугольном треугольнике $ACB$ по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: $BC^2 = AB \cdot DB$. $16^2 = AB \cdot 8$ $256 = 8AB$ $AB = 256 / 8 = 32$. Теперь найдем $AD = AB - DB = 32 - 8 = 24$. Для угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ABC$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. В прямоугольном треугольнике $ADC$: $\cos A = \frac{AD}{AC}$. Также в прямоугольном треугольнике $CDB$: $\angle BCD = 90^\circ - \angle B$. И $\angle A = 90^\circ - \angle B$. Значит $\angle A = \angle BCD$. В треугольнике $BCD$: $\cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Значит $\angle B = 60^\circ$. Тогда $\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$** 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CD$ проведена к гипотенузе $AB$. Дано: $DB = 3$, $BC = 6$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике $BC^2 = AB \cdot DB$. $6^2 = AB \cdot 3$ $36 = 3AB$ $AB = 36 / 3 = 12$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle A = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$** 5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CD$ проведена к гипотенузе $AB$. Дано: $DA = 12$, $AC = 24$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике $AC^2 = AB \cdot DA$. $24^2 = AB \cdot 12$ $576 = 12AB$ $AB = 576 / 12 = 48$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$. Значит $\angle A = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$** 6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, высота $CD$ проведена к гипотенузе $AB$. Дано: $DA = 4$, $AC = 8$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике $AC^2 = AB \cdot DA$. $8^2 = AB \cdot 4$ $64 = 4AB$ $AB = 64 / 4 = 16$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Значит $\angle A = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$** 7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Пусть $\angle C$ в 2 раза меньше угла $A$, то есть $\angle C = \frac{1}{2} \angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставим: $\angle A + \angle A + \frac{1}{2} \angle A = 180^\circ$. $2.5 \angle A = 180^\circ$. $\angle A = 180^\circ / 2.5 = 72^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ смежный с внутренним углом $B$. Внешний $\angle B = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. **Ответ: $108^\circ$** 8. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Пусть $\angle C$ в 4 раза меньше угла $A$, то есть $\angle C = \frac{1}{4} \angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставим: $\angle A + \angle A + \frac{1}{4} \angle A = 180^\circ$. $2.25 \angle A = 180^\circ$. $\angle A = 180^\circ / 2.25 = 80^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ смежный с внутренним углом $B$. Внешний $\angle B = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. **Ответ: $100^\circ$** 9. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $40^\circ$. Так как $AC = CB$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Значит, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = 40^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABC$: $\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ смежный с внутренним углом $ACB$. Внешний $\angle C = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. **Ответ: $80^\circ$** 10. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $38^\circ$. Так как $AC = CB$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Значит, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = 38^\circ$. Сумма углов в треугольнике $ABC$: $\angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - 38^\circ - 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ смежный с внутренним углом $ACB$. Внешний $\angle C = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. **Ответ: $76^\circ$** 11. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, значит треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$. Пусть внешний угол $BCD$ равен $x$. Тогда $\angle BCM = \angle MCD = x/2$. Дано, что $\angle MCD = 50^\circ$. Значит внешний угол $BCD = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$. Внутренний угол $\angle ACB$ и внешний угол $BCD$ смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. В равнобедренном треугольнике $ABC$: $\angle BAC = \angle ABC = (180^\circ - \angle ACB) / 2$. $\angle BAC = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 100^\circ / 2 = 50^\circ$. **Ответ: $50^\circ$** 12. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, значит треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$. Пусть внешний угол $BCD$ равен $x$. Тогда $\angle BCM = \angle MCD = x/2$. Дано, что $\angle MCD = 54^\circ$. Значит внешний угол $BCD = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$. Внутренний угол $\angle ACB$ и внешний угол $BCD$ смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. В равнобедренном треугольнике $ABC$: $\angle BAC = \angle ABC = (180^\circ - \angle ACB) / 2$. $\angle BAC = (180^\circ - 72^\circ) / 2 = 108^\circ / 2 = 54^\circ$. **Ответ: $54^\circ$** 13. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ равны, значит треугольник $ABC$ прямоугольный равнобедренный. Тогда $\angle BAC = \angle ABC = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. На стороне $AB$ отметили точку $P$ так, что $\angle ACP = 18^\circ$. Найдем $\angle PCB = \angle ACB - \angle ACP = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$. Рассмотрим треугольник $APC$. Сумма углов: $\angle APC + \angle PAC + \angle ACP = 180^\circ$. $\angle APC = 180^\circ - \angle PAC - \angle ACP = 180^\circ - 45^\circ - 18^\circ = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ: $117^\circ$** 14. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, значит треугольник равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Дано, что $\angle BCA = 35^\circ$. Значит $\angle BAC = 35^\circ$. $AH$ — высота. Значит $AH \perp BC$. В данном случае $AH$ проведена к стороне $BC$. Если $AH$ — высота, то $\angle AHB = 90^\circ$. Но по рисунку $AH$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на продолжение стороны $CB$. Рассмотрим треугольник $AHB$. Он прямоугольный, так как $AH \perp HB$. Внешний угол при вершине $B$ для треугольника $ABC$ равен $\angle CBA_{внешний} = \angle HBA$. $\angle HBA = 180^\circ - \angle ABC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$), $\angle BCA = \angle BAC = 35^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Угол $ABH$ и угол $ABC$ смежные. $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$): $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: $20^\circ$**