Даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$, $\triangle ADC$ (рис. 1). $AC$ - биссектриса, $\angle BAC = 35^\circ$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle ADC$. Найти $\angle BCD$.

**1. Решение:** Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ — прямоугольные треугольники, $AC$ — биссектриса, $\angle BAC = 35^\circ$. Доказать: $\triangle ABC = \triangle ADC$. Найти: $\angle BCD$. Поскольку $AC$ — биссектриса $\angle BAD$, то $\angle BAC = \angle CAD = 35^\circ$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У них: 1. Сторона $AC$ — общая. 2. $\angle BAC = \angle CAD$ (по определению биссектрисы). Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по катету и острому углу. (Хотя более корректно было бы использовать признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу или по гипотенузе и острому углу, если $\angle B = \angle D = 90^\circ$. Из рисунка ясно, что $\angle B = \angle D = 90^\circ$). Если $\triangle ABC = \triangle ADC$, то соответствующие углы равны. Значит, $\angle BCA = \angle DCA$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. $\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Тогда $\angle DCA = \angle BCA = 55^\circ$. $\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$. **Ответ:** $\angle BCD = 110^\circ$ **2. Решение:** Дано: $\triangle AABC$, $BD$ — высота. (По рисунку видно, что $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, $BD$ — высота). Доказать: $\triangle ABD = \triangle DBC$. Найти $BD$, если $\angle A = 30^\circ$, $AB = 16$ см. Поскольку $BD$ — высота, то $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$. Если $BD$ — высота в равнобедренном треугольнике $ABC$, проведённая к основанию $AC$, то $BD$ является также медианой и биссектрисой. Как медиана, $AD = DC$. Как биссектриса, $\angle ABD = \angle DBC$. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle DBC$. Они прямоугольные. 1. $AD = DC$ (по свойству высоты в равнобедренном треугольнике). 2. $BD$ — общая сторона. Значит, $\triangle ABD = \triangle DBC$ по двум катетам. Теперь найдем $BD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$: $\angle A = 30^\circ$, гипотенуза $AB = 16$ см. Против угла в $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет $BD$ лежит против угла $\angle A = 30^\circ$. Значит, $BD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. **Ответ:** $BD = 8$ см **3. Решение:** Дано: один из острых углов прямоугольного треугольника равен $54^\circ$. Найти другой острый угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$. Пусть один острый угол $\alpha = 54^\circ$. Тогда другой острый угол $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$. **Ответ:** $36^\circ$ **4. Решение:** Дано: прямоугольный треугольник $DBC$ ($\angle C = 90^\circ$), проведена высота $CK$. Найти $\angle BCK$, если $DB = 14$ см, $BC = 7$ см. В прямоугольном треугольнике $DBC$ известно, что $BC = 7$ см, $DB = 14$ см. Отношение катета $BC$ к гипотенузе $DB$ равно $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. В прямоугольном треугольнике катет, который равен половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. Значит, $\angle BDC = 30^\circ$. В $\triangle DBC$: $\angle B = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $CK$ — высота, проведенная к гипотенузе $DB$. Значит, $\triangle CKD$ и $\triangle CKB$ — прямоугольные треугольники. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKB$ (угол $\angle CKD = 90^\circ$). $\angle B = 60^\circ$. Тогда $\angle BCK = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ:** $\angle BCK = 30^\circ$