1. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. **Ответ: 71°** Сумма углов любого треугольника всегда равна $180^{\circ}$. Чтобы найти третий угол, вычтем из 180 сумму двух известных углов: $$180^{\circ} - (36^{\circ} + 73^{\circ}) = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$$ 2. **Ответ: 30°** В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $CD$ разбивает его на два подобных треугольника. Рассмотрим треугольник $CDB$. Он прямоугольный ($\\angle CDB = 90^{\circ}$), его катет $DB = 3$, а гипотенуза $BC = 6$. Так как катет в два раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета (угол $BCD$), равен $30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен углу $BCD$, так как $\\angle A = 90^{\circ} - \\angle B$ и $\\angle BCD = 90^{\circ} - \\angle B$. 3. **Ответ: 80°** - Так как $CM$ — биссектриса угла $BCD$, то $\\angle BCD = 2 \\cdot \\angle MCD = 2 \\cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}$. - Углы $ACB$ и $BCD$ смежные, поэтому $\\angle ACB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. - По условию $AC = BC$, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, следовательно, $\\angle BAC = \\angle ABC$. - Сумма углов: $\\angle BAC + \\angle ABC + 80^{\circ} = 180^{\circ} \\Rightarrow 2 \\cdot \\angle BAC = 100^{\circ} \\Rightarrow \\angle BAC = 50^{\circ}$. **Допущение:** Если под внешним углом подразумевался весь угол при вершине $C$, не являющийся внутренним. 4. **Ответ: DC = 12 см** - Доказательство: в треугольниках $ABD$ и $DBC$ сторона $BD$ — общая. По рисунку видно, что $AB$ параллельна $DC$ (накрест лежащие углы равны) и углы при $D$ и $B$ прямые. Треугольники равны по гипотенузе и острому углу (или по катету и прилежащему острому углу). - Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: $DC = AB = 12$ см.