1. В треугольнике два угла равны $36^\circ$ и $73^\circ$. Найдите его третий угол.

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если два угла равны $36^\circ$ и $73^\circ$, то третий угол будет: $$180^\circ - (36^\circ + 73^\circ) = 180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$ **Ответ: $71^\circ$** 2. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если два угла равны $43^\circ$ и $88^\circ$, то третий угол будет: $$180^\circ - (43^\circ + 88^\circ) = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ$$ **Ответ: $49^\circ$** 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, проведена высота $CD$. В треугольнике $ADC$ угол $ADC$ прямой. Угол $ACD$ равен $90^\circ - \angle A$. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Из свойств прямоугольного треугольника с высотой к гипотенузе: $AC^2 = AD \cdot AB$ и $BC^2 = BD \cdot AB$. Также $CD^2 = AD \cdot BD$. Угол $A$ можно найти из треугольника $ABC$. Мы знаем $DB = 8$ и $BC = 16$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ угол $CDB$ прямой. Катет $BC$ равен $16$, гипотенуза $BD$ равна $8$. Это невозможно, так как гипотенуза должна быть больше катета. **Недостаточно данных для решения** 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, проведена высота $CD$. В треугольнике $ADC$ угол $ADC$ прямой. Угол $ACD$ равен $90^\circ - \angle A$. В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$. Мы знаем $DB = 3$ и $BC = 6$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ угол $CDB$ прямой. Катет $BC$ равен $6$, гипотенуза $BD$ равна $3$. Это невозможно, так как гипотенуза должна быть больше катета. **Недостаточно данных для решения** 5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, проведена высота $CD$. Из свойств прямоугольного треугольника с высотой к гипотенузе: $AC^2 = AD \cdot AB$. Нам дано $DA = 12$ и $AC = 24$. $$AC^2 = AD \cdot AB$$ $$24^2 = 12 \cdot AB$$ $$576 = 12 \cdot AB$$ $$AB = \frac{576}{12} = 48$$ Теперь мы можем найти $AD = 12$, $AB = 48$. Значит $DB = AB - AD = 48 - 12 = 36$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$. Значит, $\angle A = 60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$** 6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, проведена высота $CD$. Из свойств прямоугольного треугольника с высотой к гипотенузе: $BC^2 = BD \cdot AB$. Нам дано $DA = 4$ и $AC = 8$. Из треугольника $ADC$, $\cos A = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Значит, $\angle A = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$** 7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Пусть $\angle C = x$. По условию, $\angle C$ в 2 раза меньше внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$. $x = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle B)$. Сумма углов треугольника $180^\circ = \angle A + \angle B + \angle C$. Так как $\angle A = \angle B$, то $180^\circ = 2\angle B + x$. Подставим $x$: $180^\circ = 2\angle B + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B)$. $180^\circ = 2\angle B + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$. $90^\circ = \frac{3}{2}\angle B$. $\angle B = \frac{90^\circ \cdot 2}{3} = 60^\circ$. Тогда $\angle A = 60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$** 8. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Пусть $\angle C = x$. По условию, $\angle C$ в 4 раза меньше внешнего угла при вершине $B$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$. $x = \frac{1}{4} (180^\circ - \angle B)$. Сумма углов треугольника $180^\circ = \angle A + \angle B + \angle C$. Так как $\angle A = \angle B$, то $180^\circ = 2\angle B + x$. Подставим $x$: $180^\circ = 2\angle B + \frac{1}{4}(180^\circ - \angle B)$. $180^\circ = 2\angle B + 45^\circ - \frac{1}{4}\angle B$. $135^\circ = \frac{7}{4}\angle B$. $\angle B = \frac{135^\circ \cdot 4}{7} = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.14^\circ$. **Ответ: $\frac{540^\circ}{7}$** 9. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $40^\circ$, и $AC = CB$. Это значит, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = 40^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ смежен с углом $\angle ACB$. Внешний угол при вершине $C = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. **Ответ: $80^\circ$** 10. В треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $38^\circ$, и $AC = CB$. Это значит, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC = 38^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. $\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (38^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. Внешний угол при вершине $C$ смежен с углом $\angle ACB$. Внешний угол при вершине $C = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. **Ответ: $76^\circ$** 11. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный, и $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$. Это означает, что $CM$ делит внешний угол $BCD$ на два равных угла. $\angle BCM = \angle MCD$. Нам дано $\angle MCD = 50^\circ$. Значит, $\angle BCM = 50^\circ$. Внешний угол $\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Так как $\angle BCD$ — внешний угол, то $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle ABC$. Значит, $100^\circ = 2 \angle BAC$. $\angle BAC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$. **Ответ: $50^\circ$** 12. В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный, и $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$. Это означает, что $CM$ делит внешний угол $BCD$ на два равных угла. $\angle BCM = \angle MCD$. Нам дано $\angle MCD = 54^\circ$. Значит, $\angle BCM = 54^\circ$. Внешний угол $\angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 54^\circ + 54^\circ = 108^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Так как $\angle BCD$ — внешний угол, то $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle ABC$. Значит, $108^\circ = 2 \angle BAC$. $\angle BAC = \frac{108^\circ}{2} = 54^\circ$. **Ответ: $54^\circ$** 13. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, и стороны $AC$ и $BC$ равны. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда углы при основании $AB$ равны: $\angle BAC = \angle ABC = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$. На стороне $AB$ отметили точку $P$ так, что угол $ACP$ равен $18^\circ$. Мы хотим найти градусную меру угла $APC$. Рассмотрим треугольник $ACP$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. $\angle APC = 180^\circ - \angle CAP - \angle ACP$. Мы знаем $\angle CAP = \angle BAC = 45^\circ$. Мы знаем $\angle ACP = 18^\circ$. $\angle APC = 180^\circ - 45^\circ - 18^\circ = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ: $117^\circ$** 14. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, отрезок $AH$ — высота. Угол $BCA$ равен $35^\circ$. Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$. Высота $AH$ проведена к стороне $BC$. Значит, $\triangle AHB$ — прямоугольный, с прямым углом $AHB = 90^\circ$. В треугольнике $ABC$ сумма углов $180^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. $\angle BAH + \angle ABH = 90^\circ$. Мы знаем $\angle ABH = \angle ABC = 110^\circ$. Это невозможно, так как в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла. Возможно, высота проведена к другой стороне, или в условии ошибка. **Допущение: Возможно, отрезок $BH$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, или $AH$ — высота, опущенная на $BC$, но угол $\angle ABC$ должен быть острым. Если $AH$ — высота к $BC$, то $\angle AHB = 90^\circ$. В треугольнике $ABC$, $\angle A = \angle C = 35^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ$. Рассмотрим $\triangle AHC$. Это прямоугольный треугольник. $\angle HAC = 90^\circ - \angle HCA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Угол $BAH = \angle BAC - \angle HAC = 35^\circ - 55^\circ = -20^\circ$. Это тоже невозможно. Скорее всего, в условии ошибка или высота $AH$ опущена не на $BC$. Если $AB=BC$ и $AH$ — высота, то высота должна быть опущена на сторону $AC$. Тогда $AH$ является и медианой, и биссектрисой. $\angle BAH = \angle CAH$. В этом случае $\angle B = 35^\circ$. $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 35^\circ)/2 = 145^\circ/2 = 72.5^\circ$. Тогда $\angle BAH = 72.5^\circ / 2 = 36.25^\circ$. Давай перечитаем условие. "В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, отрезок $AH$ — высота. Угол $BCA$ равен $35^\circ$". Это означает, что $AB=BC$, значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 35^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Высота $AH$ опущена на сторону $BC$. Значит, $H$ лежит на $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle AHB = 90^\circ$. Тогда $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH$. $\angle ABH$ — это угол $\angle ABC$, который равен $110^\circ$. Но в прямоугольном треугольнике угол не может быть $110^\circ$. Возможно, $H$ лежит на продолжении стороны $BC$. В таком случае $\angle ABH$ будет углом, смежным с $\angle ABC$, но это не совсем соответствует стандартному построению высоты из вершины. Давай попробуем найти угол $BAH$ из треугольника $AHC$. $\angle AHC = 90^\circ$. $\angle HCA = 35^\circ$. Тогда $\angle HAC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$. Если $\angle BAC = 35^\circ$, а $\angle HAC = 55^\circ$, то $\angle BAH$ не может быть. Проверим другую интерпретацию: $AB=BC$, $\angle BCA = 35^\circ$. Это означает $\angle BAC = 35^\circ$. $\angle ABC = 180 - 70 = 110^\circ$. Высота $AH$ (из вершины $A$) на сторону $BC$. Точка $H$ лежит на продолжении $BC$. $\triangle AHB$ прямоугольный. $\angle ABH$ — это внешний угол к $\angle ABC$. Внешний угол при $B$ равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Тогда в $\triangle AHB$, $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. **Ответ: $20^\circ$**