11. Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$, угол $MCD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $BAC$.

11. Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны, значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle ABC$. Луч $CM$ является биссектрисой внешнего угла $BCD$. Это означает, что $\angle BCM = \angle MCD$. По условию $\angle MCD = 50^\circ$, значит $\angle BCM = 50^\circ$. Внешний угол $BCD$ равен сумме углов $\angle BCM$ и $\angle MCD$, то есть $\angle BCD = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для угла $BCD$ это углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$. Значит, $\angle BCD = \angle BAC + \angle ABC$. Так как $\angle BAC = \angle ABC$, то $100^\circ = 2 \cdot \angle BAC$. Отсюда $\angle BAC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$. **Ответ:** $50^\circ$