К потолку комнаты высотой 4 м прикреплена светящееся панно — лампа в виде круга диаметром 2 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром 2 м. Центр панно и центр диска лежат на одной вертикали. Какова площадь тени на полу?

Question

Вопрос:

К потолку комнаты высотой 4 м прикреплена светящееся панно — лампа в виде круга диаметром 2 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром 2 м. Центр панно и центр диска лежат на одной вертикали. Какова площадь тени на полу?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: 4$\pi$ м$^2$ (или $\approx$ 12,57 м$^2$)** **Решение:** 1. Проанализируем условие: источник света (панно) и препятствие (диск) имеют одинаковый диаметр ($d = 2$ м). Они расположены параллельно друг другу, а их центры лежат на одной вертикали. 2. Высота комнаты $H = 4$ м. Диск находится на высоте $h = 2$ м от пола, то есть ровно посередине между потолком и полом. 3. Так как диаметр светящегося панно и диска одинаковы, область полной тени (умбра) представляет собой цилиндр того же диаметра. Однако вокруг неё образуется область полутени. Граница тени на полу определяется лучами, идущими от краев источника через противоположные края препятствия. 4. Рассмотрим сечение системы вертикальной плоскостью, проходящей через центр. Мы увидим две подобные трапеции или воспользуемся подобием треугольников. Пусть $R = 1$ м — радиус панно и диска. Расстояние от панно до диска $L_1 = 4 - 2 = 2$ м. Расстояние от диска до пола $L_2 = 2$ м. 5. Радиус тени на полу $R_{тени}$ можно найти из подобия треугольников. Поскольку диск расположен посередине между источником и полом, а крайние лучи пересекаются в центральной точке на уровне диска (если бы мы искали конус), здесь ситуация иная: крайний луч от левого края лампы через правый край диска пойдет к полу. Заметим, что из-за равенства диаметров и расстояний ($2$ м до диска и $2$ м от диска до пола), радиус тени будет в 2 раза больше радиуса диска (так как треугольник, образованный лучами от центра источника, расширяется в 2 раза, но здесь источник протяженный). Геометрически: крайний луч, формирующий полную тень + полутень, даст радиус $R_{общий} = R + R = 2$ м. 6. Площадь тени (включая полутень): $$S = \pi \cdot R_{тени}^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \approx 12,57 \text{ м}^2$$

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения