Найдите наибольшее значение функции $y = (x - 9) \cdot e^{10-x}$ на отрезке $[-11; 11]$

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = (x - 9) \cdot e^{10-x}$ на отрезке $[-11; 11]$, нужно выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции $y'$:** Применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x - 9$ и $v = e^{10-x}$. Тогда $u' = 1$. Производная $v' = (e^{10-x})' = e^{10-x} \cdot (10-x)' = e^{10-x} \cdot (-1) = -e^{10-x}$. $$y' = (1) \cdot e^{10-x} + (x - 9) \cdot (-e^{10-x})$$ $$y' = e^{10-x} - (x - 9)e^{10-x}$$ Выносим $e^{10-x}$ за скобки: $$y' = e^{10-x}(1 - (x - 9))$$ $$y' = e^{10-x}(1 - x + 9)$$ $$y' = e^{10-x}(10 - x)$$ 2. **Приравнять производную к нулю и найти критические точки:** $$e^{10-x}(10 - x) = 0$$ Так как $e^{10-x}$ всегда больше нуля, то $10 - x = 0$. $$x = 10$$ 3. **Проверить, принадлежит ли критическая точка отрезку $[-11; 11]$:** Точка $x = 10$ принадлежит отрезку $[-11; 11]$. 4. **Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка:** * Значение функции в точке $x = 10$: $$y(10) = (10 - 9) \cdot e^{10-10} = 1 \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1$$ * Значение функции на левом конце отрезка $x = -11$: $$y(-11) = (-11 - 9) \cdot e^{10-(-11)} = -20 \cdot e^{21}$$ Так как $e^{21}$ — очень большое положительное число, то $-20 \cdot e^{21}$ будет очень большим отрицательным числом. * Значение функции на правом конце отрезка $x = 11$: $$y(11) = (11 - 9) \cdot e^{10-11} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx \frac{2}{2.718} \approx 0.736$$ 5. **Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее:** Сравниваем $y(10) = 1$, $y(-11) = -20e^{21}$ и $y(11) = \frac{2}{e}$. Наибольшее значение из этих трех равно $1$. **Ответ:** 1