Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{x^2+25}{x}$ на отрезке $[1; 10]$.

Для нахождения наименьшего значения функции сначала найдём производную функции. Заданная функция: $$y = \frac{x^2 + 25}{x} = x + \frac{25}{x}$$ Найдём производную функции $y'$: $$y' = (x + 25x^{-1})' = 1 - 25x^{-2} = 1 - \frac{25}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$1 - \frac{25}{x^2} = 0$$ $$\frac{25}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$ Отрезок, на котором мы ищем наименьшее значение функции, — $[1; 10]$. Из найденных критических точек только $x=5$ попадает в этот отрезок. Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: 1. При $x=1$ (левый конец отрезка): $$y(1) = \frac{1^2 + 25}{1} = \frac{1 + 25}{1} = 26$$ 2. При $x=5$ (критическая точка): $$y(5) = \frac{5^2 + 25}{5} = \frac{25 + 25}{5} = \frac{50}{5} = 10$$ 3. При $x=10$ (правый конец отрезка): $$y(10) = \frac{10^2 + 25}{10} = \frac{100 + 25}{10} = \frac{125}{10} = 12.5$$ Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение функции равно $10$. **Ответ: 10**