Найдите наименьшее значение функции f(x) = (3x - 2)^5 * (2x + 1) на промежутке [0; +∞).

**Ответ: -10,125 (или -324/32)** Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = (3x - 2)^5 \cdot (2x + 1)$ на промежутке $[0; +\infty)$ найдём её производную и критические точки: 1. Найдём производную $f'(x)$ по правилу произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$f'(x) = ((3x - 2)^5)' \cdot (2x + 1) + (3x - 2)^5 \cdot (2x + 1)'$$ $$f'(x) = 5(3x - 2)^4 \cdot 3 \cdot (2x + 1) + (3x - 2)^5 \cdot 2$$ $$f'(x) = 15(3x - 2)^4(2x + 1) + 2(3x - 2)^5$$ 2. Вынесем общий множитель $(3x - 2)^4$ за скобки: $$f'(x) = (3x - 2)^4 [15(2x + 1) + 2(3x - 2)]$$ $$f'(x) = (3x - 2)^4 [30x + 15 + 6x - 4]$$ $$f'(x) = (3x - 2)^4 (36x + 11)$$ 3. Приравняем производную к нулю: $$(3x - 2)^4 (36x + 11) = 0$$ $x_1 = \frac{2}{3} \approx 0,67$ $x_2 = -\frac{11}{36} \approx -0,31$ (не входит в промежуток $[0; +\infty)$) 4. Определим знаки производной на $[0; +\infty)$: - При $x \in [0; \frac{2}{3})$, множитель $(36x + 11) > 0$ и $(3x - 2)^4 > 0$, производная $f'(x) > 0$. - Стоит заметить, что точка $x = 2/3$ является точкой экстремума только если производная меняет знак. Проверим значения функции в граничной точке и критической точке. - На самом деле, так как степень $(3x-2)^4$ чётная, знак производной в точке $x = 2/3$ не меняется. Производная всегда положительна на $[0; +\infty)$, кроме точки $x = 2/3$, где она равна 0. Значит, функция монотонно возрастает на всём промежутке $[0; +\infty)$. 5. Следовательно, наименьшее значение функции достигается в левой границе промежутка, то есть при $x = 0$: $$f(0) = (3 \cdot 0 - 2)^5 \cdot (2 \cdot 0 + 1) = (-2)^5 \cdot 1 = -32$$ **Допущение:** Если под «наименьшим значением» в школьной программе подразумевается поиск через экстремумы, и производная была бы знакопеременной, мы бы искали минимумы. Но здесь функция растёт. Проверим еще раз: при $x=0, f(0)=-32$. При $x=2/3, f(2/3)=0$. При $x \to \infty, f(x) \to \infty$. Минимальное значение равно -32.