Прямая $BD$ перпендикулярна к плоскости треугольника $ABC$. Известно, что $BD=9$ см, $AC=10$ см, $BC=BA=13$ см. Найдите: а) расстояние от точки $D$ до прямой $AC$.

а) Сначала найдём высоту $BH$ в треугольнике $ABC$. Так как $BC = BA = 13$ см и $AC = 10$ см, то треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота $BH$ является также медианой, поэтому $AH = HC = AC/2 = 10/2 = 5$ см. Используем теорему Пифагора для треугольника $BHC$: $$BH^2 + HC^2 = BC^2$$ $$BH^2 + 5^2 = 13^2$$ $$BH^2 + 25 = 169$$ $$BH^2 = 169 - 25$$ $$BH^2 = 144$$ $$BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, а $BH$ перпендикулярна $AC$. По теореме о трёх перпендикулярах, $DH$ перпендикулярна $AC$. Значит, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это длина отрезка $DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBH$. $$DH^2 = DB^2 + BH^2$$ $$DH^2 = 9^2 + 12^2$$ $$DH^2 = 81 + 144$$ $$DH^2 = 225$$ $$DH = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$ **Ответ: 15 см** б) Площадь треугольника $ACD$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH$. Мы знаем $AC = 10$ см и $DH = 15$ см. $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15$$ $$S_{ACD} = 5 \cdot 15$$ $$S_{ACD} = 75 \text{ см}^2$$ **Ответ: 75 см$^2$**