1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение.

1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение. а) $A_1D_1 \perp DD_1C_1C$ — Это верно, так как $A_1D_1$ перпендикулярна грани $DD_1C_1C$. б) $AB \perp BB_1C_1C$ — Это верно, так как $AB$ перпендикулярна грани $BB_1C_1C$. в) $A_1C_1 \perp DD_1C_1C$ — Это неверно. Диагональ грани $A_1C_1$ не перпендикулярна грани $DD_1C_1C$. г) $BB_1 \perp ABCD$ — Это верно, так как $BB_1$ перпендикулярна грани $ABCD$. **Ответ: в) $A_1C_1 \perp DD_1C_1C$** 2. Длина перпендикуляра $AB$ к плоскости $\alpha$ равна 4, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, $\angle MAB = 45^\circ$. Найдите расстояние между точками $M$ и $B$. Так как $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $B$. Значит, треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Мы знаем: $AB = 4$ $\angle MAB = 45^\circ$ В прямоугольном треугольнике $ABM$: $\tan(\angle MAB) = \frac{MB}{AB}$ $\tan(45^\circ) = \frac{MB}{4}$ $1 = \frac{MB}{4}$ $MB = 4 \cdot 1 = 4$ **Ответ: б) 4** 3. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед. $BD = 8$, $AA_1 = 15$. Найдите длину его диагонали $A_1C$. Диагональ прямоугольного параллелепипеда $A_1C$ можно найти по формуле: $A_1C^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2$. Мы знаем, что $BD$ — это диагональ основания $ABCD$. В прямоугольнике $ABCD$ по теореме Пифагора $BD^2 = AB^2 + BC^2$. У нас есть $BD = 8$, значит $BD^2 = 8^2 = 64$. Таким образом, $AB^2 + BC^2 = 64$. Также дано $AA_1 = 15$. Теперь подставим эти значения в формулу для диагонали $A_1C$: $A_1C^2 = (AB^2 + BC^2) + AA_1^2$ $A_1C^2 = 64 + 15^2$ $A_1C^2 = 64 + 225$ $A_1C^2 = 289$ $A_1C = \sqrt{289}$ $A_1C = 17$ **Ответ: 17** 4. В вершине прямоугольника $ABCD$ со сторонами 3 и 4 восстановлен перпендикуляр $MB$. $MD = \sqrt{41}$. Найдите длину перпендикуляра $MB$. Поскольку $MB$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $B$. Значит, $MB \perp BD$. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Стороны $AB=3$ и $BC=4$. Найдем диагональ $BD$ с помощью теоремы Пифагора в треугольнике $BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2$ $BD^2 = 4^2 + 3^2$ $BD^2 = 16 + 9$ $BD^2 = 25$ $BD = \sqrt{25} = 5$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MBD$. Гипотенуза $MD = \sqrt{41}$, катет $BD = 5$. Найдем катет $MB$: $MD^2 = MB^2 + BD^2$ $(\sqrt{41})^2 = MB^2 + 5^2$ $41 = MB^2 + 25$ $MB^2 = 41 - 25$ $MB^2 = 16$ $MB = \sqrt{16} = 4$ **Ответ: 4** 5. $AB$ и $CD$ — перпендикуляры к плоскости $\alpha$, $AB = 9$, $CD = 14$, $AC = 13$. Из точки $A$ опущен перпендикуляр $AK$ на прямую $CD$. Найдите площадь треугольника $AKC$. Поскольку $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, то $AB \parallel CD$. Также $AB \perp BD$ и $CD \perp BD$ (если $B$ и $D$ — точки пересечения перпендикуляров с плоскостью $\alpha$). Построим прямую $BH$ параллельную $AC$ в плоскости, проходящей через $AB$ и $CD$, так что $H$ лежит на $CD$. Тогда $ABDH$ будет прямоугольником. Из условия, что $AK \perp CD$, следует, что $AK$ — высота в треугольнике $ACD$, если рассматривать $CD$ как основание. Но $AK$ опущен на *прямую* $CD$, а не на отрезок $CD$. Давай переформулируем: $A$ и $C$ - это точки в пространстве. $B$ и $D$ - это проекции точек $A$ и $C$ на плоскость $\alpha$. $AB = 9$ и $CD = 14$. $AC = 13$. Так как $AB \perp \alpha$ и $CD \perp \alpha$, то $AB \parallel CD$. Рассмотрим трапецию $ABDC$ (или прямоугольную трапецию $ABDC$, если $BD$ - отрезок на плоскости $\alpha$). Проведем из точки $A$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с $CD$. Пусть эта точка будет $E$. Тогда $ABDE$ — прямоугольник, и $AE = BD$, $ED = AB = 9$. Тогда $CE = CD - ED = 14 - 9 = 5$. В прямоугольном треугольнике $AEC$ (где $\angle AEC = 90^\circ$, так как $AE \perp CD$) $AC^2 = AE^2 + CE^2$ $13^2 = AE^2 + 5^2$ $169 = AE^2 + 25$ $AE^2 = 169 - 25$ $AE^2 = 144$ $AE = \sqrt{144} = 12$ Так как $AE = BD$, то $BD = 12$. Теперь найдем площадь треугольника $AKC$. $AK$ — это перпендикуляр из $A$ на прямую $CD$. Так как $AB$ и $CD$ перпендикулярны $\alpha$, и $AK \perp CD$, то $AK$ является расстоянием от $A$ до прямой $CD$. В нашем построении, $AE$ — это расстояние от $A$ до прямой $CD$, если рассматривать $ABDE$ как прямоугольник (или, точнее, $AEC$ - прямоугольный треугольник, где $AE$ - катет). Значит, $AK = AE = 12$. Площадь треугольника $AKC = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$ В треугольнике $AKC$, основание $CK$ (часть $CD$) и высота $AK$. Однако, в данном случае $CD$ — это *отрезок*, а $AK$ — *высота* к прямой $CD$. В треугольнике $AKC$, $CD$ — это длина стороны $CD = 14$. Если $AK$ - это перпендикуляр от $A$ к прямой $CD$, и $CD$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $\alpha$, то $AK$ — это расстояние от $A$ до прямой $CD$. Вспомним, что $AE$ — это расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ в плоскости, проходящей через $A$, $B$, $C$, $D$ перпендикулярно $\alpha$. $AE$ является расстоянием от $A$ до $CD$, и $AE=12$. Площадь треугольника $AKC$ можно найти как $\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AK$. Где $CD=14$ и $AK=12$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 7 \cdot 12 = 84$ **Ответ: 84**