Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение.

1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение. а) $DD_1 \perp \text{пл. } ABCD$. Это верное утверждение, так как в кубе боковые рёбра перпендикулярны основанию. б) $BC \perp \text{пл. } DD_1C_1C$. Это верное утверждение, так как $BC$ перпендикулярна грани $DD_1C_1C$ (основание перпендикулярно боковым граням). в) $A_1B_1 \perp \text{пл. } AA_1D_1D$. Это неверное утверждение. $A_1B_1$ параллельна плоскости $AA_1D_1D$, а не перпендикулярна ей. Перпендикулярна к этой плоскости, например, $A_1D_1$. г) $D_1C \perp \text{пл. } A_1B_1C_1D_1$. Это неверное утверждение. $D_1C$ является диагональю грани, а не перпендикулярной к ней прямой. Перпендикулярны к этой плоскости, например, $DD_1$. Поскольку в задании просят указать неверное утверждение, и я нашел два неверных утверждения (в и г), давай проверим, что именно нужно выбрать. Обычно в таких заданиях подразумевается одно самое очевидно неверное утверждение. Предположим, что правильный ответ из предложенных вариантов — тот, который является наиболее очевидной ошибкой. $A_1B_1$ параллельна плоскости $AA_1D_1D$, но не перпендикулярна ей. $D_1C$ — это диагональ грани, она не перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Из представленных вариантов, (в) и (г) являются неверными утверждениями. Выберем (в), так как параллельность и перпендикулярность - это очень разные отношения в геометрии. **Ответ: в) $A_1B_1 \perp \text{пл. } AA_1D_1D$** 2. К плоскости $\beta$ проведен перпендикуляр $AC$, точка $B$ лежит в плоскости $\beta$, $\angle CAB = 60^{\circ}$, $AB = 16$. Найдите длину перпендикуляра $AC$. У нас есть прямоугольный треугольник $ABC$, так как $AC$ перпендикулярен плоскости $\beta$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $\angle BCA = 90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC = AB \cdot \cos(\angle CAB)$ $AC = 16 \cdot \cos(60^{\circ})$ $AC = 16 \cdot \frac{1}{2}$ $AC = 8$ **Ответ: в) 8** 3. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $B_1D = 10$, $CC_1 = 8$. Найдите длину диагонали $AC$ его основания. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов его измерений. $B_1D^2 = AD^2 + CD^2 + CC_1^2$ Мы знаем, что $AC^2 = AD^2 + CD^2$ (по теореме Пифагора в прямоугольнике $ABCD$). Тогда $B_1D^2 = AC^2 + CC_1^2$. $10^2 = AC^2 + 8^2$ $100 = AC^2 + 64$ $AC^2 = 100 - 64$ $AC^2 = 36$ $AC = \sqrt{36}$ $AC = 6$ **Ответ: 6** 4. В вершине прямоугольника $ABCD$ со сторонами 5 и 12 восстановлен перпендикуляр $MB$, $MD = \sqrt{269}$. Найдите длину перпендикуляра $MB$. У нас есть прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 12$ и $BC = 5$. Так как $MB$ перпендикулярен плоскости прямоугольника, то треугольник $MBD$ будет прямоугольным с прямым углом $MBD$. Сначала найдем диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ $BD^2 = 12^2 + 5^2$ $BD^2 = 144 + 25$ $BD^2 = 169$ $BD = \sqrt{169}$ $BD = 13$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MBD$. По теореме Пифагора: $MD^2 = MB^2 + BD^2$ $(\sqrt{269})^2 = MB^2 + 13^2$ $269 = MB^2 + 169$ $MB^2 = 269 - 169$ $MB^2 = 100$ $MB = \sqrt{100}$ $MB = 10$ **Ответ: 10** 5. $AB$ и $CD$ — перпендикуляры к плоскости $\alpha$, $AB = 18$, $CD = 10$. Из точки $C$ опущен перпендикуляр $CK$ на прямую $AB$, $AC = 17$. Найдите площадь треугольника $ACK$. Поскольку $AB$ и $CD$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу. $CK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на прямую $AB$. Это означает, что $CDKB$ — прямоугольник, и $CK = BD$. Также, $CK \perp AB$. Следовательно, треугольник $CKA$ является прямоугольным с прямым углом $CKA$. Длина $KD = AB - CD = 18 - 10 = 8$. Из прямоугольного треугольника $CKD$ мы не можем найти $CK$ напрямую, так как $CDKB$ - прямоугольник, и $CK = BD$. Рассмотрим трапецию $ABDC$. Проведем $CK \perp AB$. Тогда $CDKB$ - прямоугольник. $DK = AB - AK$. Мы знаем $AB = 18$ и $CD = 10$. Значит, $CK$ — это высота трапеции $ACDB$. Проведем $CK \perp AB$. Тогда $CDKB$ — прямоугольник. $KB = CD = 10$. $AK = AB - KB = 18 - 10 = 8$. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $AKC$, где $AC = 17$ (гипотенуза) и $AK = 8$ (катет). Найдем $CK$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AK^2 + CK^2$ $17^2 = 8^2 + CK^2$ $289 = 64 + CK^2$ $CK^2 = 289 - 64$ $CK^2 = 225$ $CK = \sqrt{225}$ $CK = 15$ Площадь треугольника $ACK$: $S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CK$ $S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15$ $S_{ACK} = 4 \cdot 15$ $S_{ACK} = 60$ **Ответ: 60**