Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение.

1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите неверное утверждение. а) $A_1D_1 \perp$ пл. $DD_1C_1C$ — Это верно, так как $A_1D_1$ перпендикулярна плоскости боковой грани. б) $AB \perp$ пл. $BB_1C_1C$ — Это верно, так как $AB$ перпендикулярна плоскости боковой грани. в) $A_1C_1 \perp$ пл. $DD_1C_1C$ — Это неверно. $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, которая параллельна плоскости $DD_1C_1C$. Поэтому $A_1C_1$ не может быть перпендикулярна плоскости $DD_1C_1C$. г) $BB_1 \perp$ пл. $ABCD$ — Это верно, так как $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания. **Ответ: в)** 2. Длина перпендикуляра $AB$ к плоскости $\alpha$ равна 4, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, $\angle MAB = 45^\circ$. Найдите расстояние между точками $M$ и $B$. Так как $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $\triangle ABM$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle ABM = 90^\circ$. Дано: $AB = 4$ $\angle MAB = 45^\circ$ В прямоугольном треугольнике $ABM$: $$\tan(\angle MAB) = \frac{BM}{AB}$$ $$\tan(45^\circ) = \frac{BM}{4}$$ $$1 = \frac{BM}{4}$$ $$BM = 4$$ **Ответ: 4** 3. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $BD = 8$, $AA_1 = 15$. Найдите длину его диагонали $A_1C$. Диагональ параллелепипеда $A_1C$ можно найти по формуле: $$A_1C^2 = AD^2 + AB^2 + AA_1^2$$ Мы знаем, что $BD$ — диагональ основания $ABCD$. В прямоугольнике $ABCD$ по теореме Пифагора: $$BD^2 = AD^2 + AB^2$$ Дано: $BD = 8 \implies BD^2 = 8^2 = 64$ $AA_1 = 15 \implies AA_1^2 = 15^2 = 225$ Подставляем значения в формулу для $A_1C^2$: $$A_1C^2 = BD^2 + AA_1^2$$ $$A_1C^2 = 64 + 225$$ $$A_1C^2 = 289$$ $$A_1C = \sqrt{289}$$ $$A_1C = 17$$ **Ответ: 17**