Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ объема 27. Укажите неверное утверждение.

**Ответ: в) $\angle B_1AD = 45^\circ$** **Решение:** 1. Объем куба $V = a^3 = 27$, откуда ребро куба $a = 3$. 2. Проверим утверждения: - а) Расстояние от $AB_1$ до плоскости $DD_1C_1C$ равно ребру $AD = 3$. **Верно**. - б) Прямая $BC$ параллельна $AD$, а $AD$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, значит $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AB_1$. **Верно**. - в) Рассмотрим $\triangle B_1AD$. Отрезок $AB_1$ — диагональ грани ($3\sqrt{2}$), $AD$ — ребро ($3$), $B_1D$ — диагональ куба ($3\sqrt{3}$). В прямоугольном $\triangle ABB_1$ угол $\angle BAB_1 = 45^\circ$, но плоскость грани $ABB_1A_1 \perp AD$, значит $\angle B_1AD = 90^\circ$. **Неверно**. - г) Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BB_1C_1C$ — это угол $\angle AB_1B$. В равнобедренном прямоугольном $\triangle ABB_1$ он равен $45^\circ$. **Верно**.