В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, перпендикулярные прямой $AB$.

А1. В кубе ребро $AB$ перпендикулярно граням $BC C_1 B_1$ и $AD D_1 A_1$. Из предложенных вариантов: 1) $ADC$ (нижняя грань) — $AB$ лежит в ней. 2) $A_1 AD$ (задняя) и $B_1 BC$ (передняя) — **верно**, $AB$ перпендикулярна обеим. 3) $A_1 AD$ и $D_1 C_1 C$ — $AB$ параллельна $D_1 C_1 C$. 4) $B_1 BC$ и $A_1 AB$ — $AB$ лежит в $A_1 AB$. **Ответ: 2)** А2. Точка $O$ — центр квадрата. Расстояние от центра до вершины квадрата $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см. Расстояние от точки $A$ (вне плоскости) до вершины — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами $OA = 3$ см и $R = 3\sqrt{2}$ см. $d = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см. **Ответ: 3)** А3. Точка $O$ равноудалена от вершин, значит, её проекция $H$ на плоскость $ABC$ — центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике это середина гипотенузы $BC$. $BC = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = 17$ см. Радиус $R = \frac{17}{2} = 8,5$ см. Расстояние от $O$ до плоскости (высота $OH$): $OH = \sqrt{(\frac{\sqrt{410}}{2})^2 - (8,5)^2} = \sqrt{\frac{410}{4} - \frac{289}{4}} = \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{11}{2} = 5,5$ см. **Ответ: 1)** В1. Расстояние от $M$ до вершин $B$ и $D$ будет одинаковым, так как $AB=AD$. $MB = \sqrt{AM^2 + AB^2}$. Поскольку это квадрат, $AB = BC = 12$ см. $MB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ см. Для вершины $C$: $MC = \sqrt{AM^2 + AC^2}$. Диагональ $AC = 12\sqrt{2}$. $MC = \sqrt{5^2 + (12\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 288} = \sqrt{313}$ см. **Ответ: 13 см, 13 см, $\sqrt{313}$ см.** В2. Так как $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, а $BC \parallel \alpha$, то $BB_1 C_1 C$ — прямоугольник, значит $BB_1 = CC_1 = 4$. В $\triangle ABC$ по теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^{\circ}$ $BC^2 = 33 + 209 - 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{209} \cdot 0,5 = 242 - \sqrt{33 \cdot 209} = 242 - \sqrt{3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 19} = 242 - 11\sqrt{57}$. **Ответ: $\sqrt{242 - 11\sqrt{57}}$.** С1. Пусть ребра равны $a, b, c$. Тогда: $a^2 + b^2 = 65$ $b^2 + c^2 = 105$ $a^2 + c^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80$ Сложим все уравнения: $2(a^2 + b^2 + c^2) = 250 → a^2 + b^2 + c^2 = 125$. $c^2 = 125 - 65 = 60 → c = ∑\sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см. $a^2 = 125 - 105 = 20 → a = ∑\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см. $b^2 = 125 - 80 = 45 → b = ∑\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см. **Ответ: $2\sqrt{5}$ см, $3\sqrt{5}$ см, $2\sqrt{15}$ см.**