Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ площади поверхности 24. Укажите неверное утверждение.

1. **Ответ: а)** Решение: Площадь поверхности куба $S = 6a^2 = 24$, откуда $a^2 = 4$, значит ребро куба $a = 2$. а) Прямая $A_1B$ параллельна плоскости $DD_1C_1C$, так как она лежит в плоскости $AA_1B_1B$, которая параллельна $DD_1C_1C$. Расстояние между ними равно ребру куба, то есть 2. Утверждение верно. б) $\angle A_1BC = 90^{\circ}$. $BC \perp (AA_1B_1B)$, так как $BC \perp AB$ и $BC \perp BB_1$. Поскольку $A_1B$ лежит в этой плоскости, $BC \perp A_1B$. Утверждение верно. в) Прямая $AB_1$ образует с плоскостью $BB_1D_1D$ угол, равный углу между $AB_1$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $A$ на плоскость $BB_1D_1D$ является точка $O$ (центр грани $ABCD$). В прямоугольном $\triangle AOB_1$ угол $\sin \angle AB_1O = \frac{AO}{AB_1} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Угол равен $30^{\circ}$. Утверждение **неверно**. 2. **Ответ: б) $8\sqrt{3}$** Решение: 1) В равностороннем $\triangle ABC$: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 48 \Rightarrow BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. 2) Пусть проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ — это $DB$ и $DC$. Так как наклонные равны ($AB=AC$, так как $\triangle ABC$ равносторонний), то их проекции тоже равны: $DB = DC$. 3) В $\triangle BDC$ по теореме косинусов: $BC^2 = DB^2 + DC^2 - 2 \cdot DB \cdot DC \cdot \cos(120^{\circ})$. $48 = 2DB^2 - 2DB^2 \cdot (-0,5) = 3DB^2 \Rightarrow DB^2 = 16 \Rightarrow DB = 4$. 4) $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC \cdot \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \cdot 2 = 8\sqrt{3}$. 3. **Ответ: 2** Решение: 1) Расстояние от $P$ до $AD$ — это отрезок $PA$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $BA \perp AD$), $PA = 6$. 2) Расстояние от $P$ до $CD$ — это отрезок $PC$ (так как $BC \perp CD$), $PC = 7$. 3) В прямоугольном $\triangle PBC$: $PB^2 + BC^2 = PC^2 = 49$. 4) В прямоугольном $\triangle PBD$: $PB^2 + BD^2 = PD^2 = 81$. 5) В прямоугольном $\triangle PBA$: $PB^2 + AB^2 = PA^2 = 36$. 6) В $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2$. Так как $ABCD$ прямоугольник, $CD = AB$. 7) Из (4): $PB^2 + BC^2 + AB^2 = 81$. Подставим (3): $49 + AB^2 = 81 \Rightarrow AB^2 = 32$. 8) Из (5): $PB^2 + 32 = 36 \Rightarrow PB^2 = 4 \Rightarrow PB = 2$. 4. **Ответ: 4** Решение: 1) Проведем высоту $AM$ в $\triangle ABC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AC=BC=10$), то $M$ — середина $AB$. $AM = \sqrt{10^2 - (12/2)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$. 2) Пусть $AK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $\angle AMK$ — угол между плоскостями, $\angle AMK = 30^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle AKM$: $AK = AM \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot 0,5 = 4$.