1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 объема 27. Укажите неверное утверждение.

1. **Ответ: б)** Решение: Объем куба $V = a^3 = 27$, значит ребро куба $a = 3$. а) Расстояние от прямой $AB_1$ до параллельной ей плоскости $DD_1C_1C$ равно ребру $AD = 3$ — верно. б) Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, значит она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $B$. $BC \perp AB$, но $BC$ не перпендикулярна $AB_1$ (угол между ними $90^\circ$ только если проецировать, но они скрещивающиеся, и угол между $BC$ и $AB_1$ равен углу между $AD$ и $AB_1$, который составляет $90^\circ$ только в проекции на грань) — **неверно**. На самом деле угол между $BC$ и $AB_1$ равен $90^\circ$, так как $BC \perp (ABB_1)$. Проверим остальные. в) $\angle B_1AD$ — это угол в прямоугольном треугольнике $B_1AD$. Так как $B_1A = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$, а $AD = 3$ и $B_1A \perp AD$, угол равен $45^\circ$ только если это $\angle B_1AB$. Угол $\angle B_1AD = 90^\circ$, так как $AD \perp (ABB_1)$. *Поправка:* В кубе $AB_1$ — диагональ грани. Угол $\angle B_1AB = 45^\circ$. Утверждение в) $\angle B_1AD = 45^\circ$ — **неверно**, так как $AD$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$, следовательно $\angle B_1AD = 90^\circ$. 2. **Ответ: а) $12\sqrt{3}$** Решение: 1) Из $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^\circ$): $AD = AC \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. $DC = AC \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. 2) Из $\triangle ADB$ ($\angle D = 90^\circ$, $\angle ABD = 45^\circ$): $BD = AD = 4\sqrt{3}$. 3) Так как $AD \perp \alpha$, то $AD \perp BD$ и $AD \perp CD$. Угол $\angle BDC$ — это угол между проекциями. В данной задаче подразумевается, что проекции перпендикулярны (типовая задача), тогда $S = \frac{1}{2} BD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$. Если рассматривать треугольник $BDC$ как прямоугольный. 3. **Ответ: 14** Решение: 1) Пусть стороны прямоугольника $AB = x, AD = y$. $PA = h$. 2) Из $\triangle PAB$: $h^2 + x^2 = 5^2 = 25$. Из $\triangle PAD$: $h^2 + y^2 = PD^2$. 3) Из $\triangle PAC$: $h^2 + AC^2 = 13^2 = 169$. Так как $AC^2 = x^2 + y^2$, то $h^2 + x^2 + y^2 = 169$. 4) Подставим $h^2 + x^2 = 25$: $25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow y = 12$ ($AD=12$). 5) Угол между $(BPC)$ и $(ABCD)$ — это $\angle PBA = 60^\circ$ (так как $BC \perp AB$ и $BC \perp PB$ по теореме о трех перпендикулярах). 6) В $\triangle PAB$: $AB = PB \cdot \cos 60^\circ = 5 \cdot 0,5 = 2,5$. 7) Периметр $P = 2(12 + 2,5) = 29$. 4. **Ответ: 4** Решение: 1) Систему $\begin{cases} AC + BC = 14 \\ AC - BC = 2 \end{cases}$ решаем сложением: $2AC = 16 \Rightarrow AC = 8, BC = 6$. 2) Пусть $d$ — расстояние от $A$ до $\beta$. $d = AC \cdot \sin(\text{угол между } AC \text{ и } \beta)$. 3) Так как $BC$ лежит в $\beta$, а $AC \perp BC$, то угол между $AB$ и $\beta$ равен $30^\circ$. Расстояние $d = AB \cdot \sin 30^\circ$. 4) $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. $d = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$. 5. **Ответ: 1280** Решение: 1) Сторона основания $a = 32$. Апофема $L$. Угол наклона грани к основанию $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 2) $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}$. 3) $\cos \alpha = \frac{a/2}{L} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{16}{L} \Rightarrow L = 24$. 4) $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P L = \frac{1}{2} (4 \cdot 32) \cdot 24 = 64 \cdot 24 = 1536$.