1. В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите плоскости, перпендикулярные прямой AD. 2. Точка O — центр квадрата со стороной, равной 4 см, OA — отрезок, перпендикулярный к плоскости квадрата и равный 2 см. Найдите расстояние от точки A до вершин квадрата.

Вариант 2 1. **Ответ: 4) $A_1D_1D$ и $B_1BC$** Плоскость грани куба перпендикулярна всем прямым, которые перпендикулярны этой грани. Прямая $AD$ перпендикулярна боковым граням $AA_1D_1D$ (так как $AD \perp AA_1$ и $AD \perp AB$, а плоскость $AA_1B_1B$ параллельна $DD_1C_1C$) и $CDD_1C_1$. В списке 4 указаны грани, параллельные друг другу и перпендикулярные ребру $AD$. 2. **Ответ: 1) $2\sqrt{3}$ см** Решение: Расстояние от точки $A$ до вершин квадрата — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где катеты — это отрезок $OA$ ($2$ см) и половина диагонали квадрата. 1) Найдем диагональ квадрата $d$ со стороной $a = 4$: $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. 2) Половина диагонали (расстояние от центра $O$ до вершины): $R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. 3) Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем искомое расстояние $L$: $L = \sqrt{OA^2 + R^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. 3. **Ответ: 2) 3 см** Решение: 1) Найдем гипотенузу $BC$ треугольника $ABC$: $BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см. 2) Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: $R = \frac{13}{2} = 6,5$ см. 3) Расстояние от точки $O$ до плоскости — это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза — расстояние до вершин ($\frac{\sqrt{194}}{2}$), а второй катет — радиус $R$: $H = \sqrt{(\frac{\sqrt{194}}{2})^2 - (6,5)^2} = \sqrt{\frac{194}{4} - 42,25} = \sqrt{48,5 - 42,25} = \sqrt{6,25} = 2,5$ см. **Допущение:** В вариантах ответа опечатка или неверное условие, расчет дает $2,5$ см (вариант 4). 4. **Ответ: 17 см** Решение: Расстояние от $M$ до вершин $B, C, D$ будет одинаковым, так как $A$ — вершина квадрата, а $AM$ перпендикулярен плоскости. Рассмотрим треугольник $AMB$ или $AMD$. 1) Сторона квадрата $AB = BC = 8$ см. 2) Из $\triangle MAB$ (угол $A=90^\circ$): $MB = \sqrt{AM^2 + AB^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см. 3) Для вершины $C$: Сначала найдем $AC = 8\sqrt{2}$. Тогда $MC = \sqrt{15^2 + (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 128} = \sqrt{353} \approx 18,8$ см. Обычно в таких задачах спрашивают расстояние до ближайших вершин $B$ и $D$. 5. **Ответ: 10** Решение: 1) Проекция $AB$ на плоскость $\alpha$ есть $A_1B_1$, где $A_1$ совпадает с $A$ (так как $A \in \alpha$). Тогда $AB_1$ — это проекция. Из $\triangle ABB_1$ ($BB_1 \perp \alpha$): $BB_1 = \sqrt{AB^2 - AB_1^2}$. Но $AB$ не дано. 2) По теореме косинусов в $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ$. 3) Из прямоугольных треугольников: $AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$ и $AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$. $AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100 \Rightarrow AC = 10$. Так как $BC \parallel \alpha$, то $BB_1 = CC_1 = 8$. $AB^2 = (8\sqrt{3})^2 + 8^2 = 192 + 64 = 256 \Rightarrow AB = 16$. $BC^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot 0,5 = 256 + 100 - 160 = 196$. $BC = \sqrt{196} = 14$.