Дано: $ABCD$ — прямоугольник. Доказать: $AD \perp AM$.

Для того чтобы доказать, что $AD \perp AM$, нужно показать, что угол между этими прямыми равен $90^\circ$. Дано: 1. $ABCD$ — прямоугольник. Это значит, что все его углы равны $90^\circ$, и смежные стороны перпендикулярны. В частности, $AD \perp AB$. 2. $MB \perp AB$. Это показано на рисунке значком прямого угла в точке $B$. Так как $AD \perp AB$ и $MB \perp AB$, то $MB$ и $AD$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$. Это значит, что прямая $MB$ параллельна прямой $AD$ или лежит в одной плоскости с $AD$, перпендикулярной $AB$. Однако, из рисунка видно, что $MB$ перпендикулярна $AB$ в плоскости, перпендикулярной плоскости прямоугольника $ABCD$. Прямая $AB$ является перпендикуляром к плоскости, содержащей $MB$ и $AD$, если $AD$ и $MB$ перпендикулярны $AB$. Так как $MB \perp AB$ и $AD \perp AB$, то $AB$ перпендикулярна плоскости, образованной прямыми $MB$ и $AD$. Мы знаем, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Точка $B$ является основанием перпендикуляра $MB$ к $AB$. Точка $A$ является основанием перпендикуляра $AD$ к $AB$. Из условия, что $ABCD$ — прямоугольник, следует, что $AD \perp AB$. Из рисунка видно, что $MB \perp AB$. Если прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AB$, и прямая $MB$ перпендикулярна прямой $AB$, то плоскость, в которой лежат точки $A$, $B$, $M$ перпендикулярна $AD$ или $AD$ перпендикулярна плоскости $ABM$. Из того, что $MB \perp AB$ и $AD \perp AB$, а также $AD$ является стороной прямоугольника $ABCD$, можно сделать вывод, что $AD$ перпендикулярна плоскости, содержащей $AB$ и $MB$. То есть $AD \perp$ плоскости $ABM$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AM$ лежит в плоскости $ABM$. Следовательно, $AD \perp AM$. **Что и требовалось доказать.**