Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\frac{x^2 - a(a-1)x - a^3}{\sqrt{3+2x-x^2}} = 0$ имеет ровно два различных корня.

Нам нужно найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. Уравнение выглядит так: $$ \frac{x^2 - a(a-1)x - a^3}{\sqrt{3+2x-x^2}} = 0 $$ Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель должен быть определён и не равен нулю. 1. **Числитель равен нулю:** $x^2 - a(a-1)x - a^3 = 0$ Это квадратное уравнение. Найдём его дискриминант: $$ D = (a(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^3) = a^2(a-1)^2 + 4a^3 = a^2(a^2 - 2a + 1) + 4a^3 = a^4 - 2a^3 + a^2 + 4a^3 = a^4 + 2a^3 + a^2 = a^2(a^2 + 2a + 1) = a^2(a+1)^2 = (a(a+1))^2 $$ Корни квадратного уравнения: $$ x_{1,2} = \frac{a(a-1) \pm \sqrt{(a(a+1))^2}}{2} = \frac{a(a-1) \pm |a(a+1)|}{2} $$ Рассмотрим два случая для $|a(a+1)|$: * Если $a(a+1) \ge 0$, то $|a(a+1)| = a(a+1)$. $$ x_1 = \frac{a(a-1) + a(a+1)}{2} = \frac{a^2 - a + a^2 + a}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2 $$ $$ x_2 = \frac{a(a-1) - a(a+1)}{2} = \frac{a^2 - a - a^2 - a}{2} = \frac{-2a}{2} = -a $$ * Если $a(a+1) < 0$, то $|a(a+1)| = -a(a+1)$. $$ x_1 = \frac{a(a-1) - a(a+1)}{2} = -a $$ $$ x_2 = \frac{a(a-1) + a(a+1)}{2} = a^2 $$ Итак, корни уравнения числителя всегда $x = a^2$ и $x = -a$. 2. **Знаменатель определён и не равен нулю:** Для $\sqrt{3+2x-x^2}$ должно выполняться $3+2x-x^2 > 0$. Умножим на $-1$: $x^2 - 2x - 3 < 0$. Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ $$ x_1 = \frac{2-4}{2} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{2+4}{2} = 3 $$ Так как это парабола, ветви которой направлены вверх, $x^2 - 2x - 3 < 0$ при $-1 < x < 3$. Теперь нужно найти значения $a$, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Это означает, что $x=a^2$ и $x=-a$ должны быть различными и оба должны удовлетворять условию $-1 < x < 3$. **Условия:** * **Корни должны быть различными:** $a^2 \neq -a$ $a^2 + a \neq 0$ $a(a+1) \neq 0$ Значит, $a \neq 0$ и $a \neq -1$. * **Каждый корень должен удовлетворять условию $-1 < x < 3$:** 1. $-1 < a^2 < 3$ * $a^2 > -1$ (Это всегда верно, так как $a^2 \ge 0$) * $a^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ 2. $-1 < -a < 3$ Умножим на $-1$ и поменяем знаки неравенства: $-3 < a < 1$ Теперь объединим все условия: 1. $a \neq 0$ 2. $a \neq -1$ 3. $-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ (приблизительно $-1.732 < a < 1.732$) 4. $-3 < a < 1$ Найдём пересечение интервалов $ ( -\sqrt{3}; \sqrt{3} ) $ и $ (-3; 1) $: $$ ( -\sqrt{3}; \sqrt{3} ) \cap (-3; 1) = ( -\sqrt{3}; 1 ) $$ Теперь исключим значения $a=0$ и $a=-1$ из этого интервала: $$ ( -\sqrt{3}; 1 ) \setminus \{ -1, 0 \} $$ Это можно записать как объединение интервалов: $$ ( -\sqrt{3}; -1 ) \cup ( -1; 0 ) \cup ( 0; 1 ) $$ **Ответ:** $a \in (-\sqrt{3}; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1)$