Определи сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения \(a\): 1) \(x^{12} = a - 6\); 2) \(x^{24} = a^2 + 7a - 8\)

1) $x^{12} = a - 6$ Если $a - 6 < 0$, то есть $a < 6$, корней нет, потому что чётная степень не может быть отрицательной. Если $a - 6 = 0$, то есть $a = 6$, то $x^{12} = 0$, один корень $x = 0$. Если $a - 6 > 0$, то есть $a > 6$, то $x = \pm \sqrt[12]{a-6}$, два корня. 2) $x^{24} = a^2 + 7a - 8$ Сначала найдём, когда правая часть равна нулю или отрицательна. Выражение $a^2 + 7a - 8$ можно разложить на множители. Корни уравнения $a^2 + 7a - 8 = 0$ найдем по формуле Дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$ $$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$a_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ $$a_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Значит, $a^2 + 7a - 8 = (a - 1)(a + 8)$. - Если $(a - 1)(a + 8) < 0$, то есть $a \in (-8, 1)$, корней нет. - Если $(a - 1)(a + 8) = 0$, то есть $a = 1$ или $a = -8$, один корень $x = 0$. - Если $(a - 1)(a + 8) > 0$, то есть $a \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$, два корня $x = \pm \sqrt[24]{a^2 + 7a - 8}$.